Tengo una segunda pregunta hoy.
En "Geometría algebraica" de Harris: A First course" construye (en la página 200) un isomorfismo entre el espacio tangente de los Grassmannianos y algunos homomorfismos:
Comienza con la portada de los Grassmannianos definida en la sección 6, es decir, para un (n-k)-avión $ \Gamma \subset K^{n+1}$ él define $U_{ \Gamma }:= \{ \Lambda ' \in\mathbb G(k,n)|\ \Lambda \cap \Gamma =(0)\}$ .
Luego construye un isomorfismo para $ \mathbb A^{(n-k)(k+1)}$ de la siguiente manera:
"Arreglar un subespacio $ \Lambda\in U_{ \Gamma }$ un subespacio $ \Lambda ' \in U_{ \Gamma }$ es el gráfico de un homomorfismo $ \phi : \Lambda\rightarrow\Gamma $ para que $U_{ \Gamma }=$ Hom $( \Lambda , \Gamma )$ .
Entonces deduce $T_{ \Lambda }( \mathbb G)=$ Hom $( \Lambda , \Gamma )$ .
Este último paso no es trivial para mí, así que traté de cortarlo en varios sub-pasos, pero parece que estoy atascado:
Sabemos por una definición del espacio tangente proyectivo en algún punto $p$ de alguna variedad proyectiva $X \subset \mathbb P^n$ que es el cierre proyectivo del espacio tangente afín de $X \cap U$ donde $p \in U$ es isomorfo a $ \mathbb A^n$ .
Ahora para $ \Lambda \in \mathbb G$ existe un subconjunto tan abierto $ \Lambda \in U \subset \mathbb P^{ \binom {n+1}{k+1}}$ de tal manera que $ \mathbb G \cap U=U_{ \Gamma }$ para algunos $ \Gamma $ . Entonces por el hecho anterior, sabemos
$T_{ \Lambda }( \mathbb G)= \bar {T_{ \Lambda }(U_{ \Gamma })}= \bar {U_{ \Gamma }}$ como $U_{ \Gamma }$ es afín (se supone que las barras denotan el cierre proyectivo). ¿Cómo continúo?
Sé que $U_{ \Gamma }=$ Hom $( \Lambda , \Gamma )$ ¿pero no necesito $ \bar {U_{ \Gamma }}=$ Hom $( \Lambda , \Gamma )$ ?
¡Muchas gracias!
