¿Es la función compleja $f(z)=e^{-z^{-4}}$analítica en $z=0$?

Question

¿La función compleja es $$ f (z) = \begin{cases} e^{-z^{-4}} & z\ne0\\ 0 & z=0 \end {casos}$$ analytic at $ z = 0 $?

Puedo demostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann están satisfechas.

Answer 1

Las otras respuestas están usando armas termonucleares para concluir ...

La función ni siquiera es continua en cero. Por ejemplo, existe en$\mathbb C$ una secuencia$(w_n)_{n\geq0}$ tal que$w_n\to\infty$ y$\exp w_n^4=1$ para todos$n\geq0$. Se deduce que$1/w_n\to0$ como$n\to\infty$ y$f(1/w_n)=\exp(-(1/w_n)^{-4})=1$ para todos$n$, y esto junto con$f(0)=0$ implican que$f$ no es continuo en$0$.

Answer 2

La función de $f(z)$, así definida, tiene una Laurent expansión de la serie $$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} z^{-4n} $$ alrededor de $z=0$ con una infinita parte principal (es decir, con infinidad de cero los coeficientes delante de las potencias negativas de $z$). Por lo tanto $z=0$ es una singularidad esencial de $f(z)$, y por el Casoratti-Weierstraß teorema, no hay manera de definir $f(0)$, de modo que $f(z)$ ser continua en $z=0$. De hecho, hemos $$ |f(z)| = e^{-\Re(z^{-4})} = \exp\left(\frac{-x^4+6x^2y^2-y^4}{(x^2+y^2)^2}\right) \quad \text{for} \quad z = x +iy \neq 0.$$ La restricción $z$ sobre la línea de $y = tx$$t\in\mathbb{R}$, podemos observar que $$ \lim_{x\to0,\,x\neq0}|f(x+itx)| = \exp\left(\frac{-1+6t^2-t^4}{(1+t^2)^2}\right)$$ no es independiente de $t \in \mathbb{R}$, de donde se concluye que $\lim_{z\to0}|f(z)|$ no existe. Por lo tanto, el límite de $\lim_{z\to0}f(z)$ no existe y, por tanto, $f(z)$ no puede ser analítico en $z=0$.

Answer 3

Diría que no, porque cada derivada es$0$ at$0$, (debido al crecimiento exponencial), ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function

Answer 4

Como ya sabe que la función es continua, podemos concluir directamente que es analítica del teorema de Riemann (sobre la singularidad extraíble).