¿Qué es lo que $(-1)^{2/3}\; $ ?

Question

Sé que $ \left ( -1 \right )^{2/3}= \left ( \left ( -1 \right )^{2} \right )^{1/3}=1$

Pero Matlab calcula esto como $- 0.5 + 0.8660254038i$ un número complejo. ¿Por qué?

Answer 1

Por convención, $- \frac12 + \frac { \sqrt3 }2i \approx -0.5+0.866i$ es el valor principal de $(-1)^ \frac23 $ .

En particular, Matlab está presumiblemente evaluando $(-1)^ \frac23 $ como $ \exp ( \frac23\log (-1))$ y eligiendo la rama principal del logaritmo, donde $ \log (-1) = \pi i$ y por lo tanto terminando con

$$ \begin {aligned} (-1)^ \frac23 &= \exp\left ( \tfrac23\log (-1) \right ) \\ &= \exp\left ( \tfrac23\pi i \right ) \\ &= - \frac12 + \frac { \sqrt3 }2 i \\ & \approx -0.5+0.866i. \end {aligned}$$

Answer 2

Si el argumento de la función se toma como un número complejo, las raíces de la unidad (negativa) vienen dadas por la ecuación $e^ \frac {i \pi (2k - 1)}{n}, k = 1,2,3...n.$ Así que para $n=3$ la tercera raíz de la unidad será $e^ \frac {i \pi }{3} \approx 0.5 + 0.866i $ , $e^{i \pi } = -1$ y $e^ \frac {i5 \pi }{3} \approx 0.5 - 0.866i$ . Cuadrando estos da las tres soluciones mencionadas anteriormente por Counthaus: $-0.5 + 0.866i$ , $1$ y $-0.5 - 0.866i$ .

Answer 3

Porque:

$$(-1)^{ \frac {2}{3}}= \left |(-1)^{ \frac {2}{3}} \right |e^{ \arg\left ((-1)^{ \frac {2}{3}} \right )i}=1e^{ \frac {2}{3} \pi i}=e^{ \frac {2}{3} \pi i}= \cos\left ( \frac {2}{3} \pi\right )+ \sin\left ( \frac {2}{3} \pi\right )i=$$

$$- \frac {1}{2}+ \frac { \sqrt {3}}{2}i$$