Las raíces de la ecuación cúbica, $2x^3+px^2-(3+5i)x+q=0$ $x\in \{ i , \frac{1}{k}, -1-k\} $
Use esta información para encontrar $p,q$ $k$ donde $k$ es real.
Lo que he hecho:
Considere la posibilidad de $p(x)=2x^3+px^2+(-3-5i)x+q=0$
Desde $x=i$ , $x=\frac{1}{k}$ y $x=-1-k$ son raíces vamos a tratar subbing ellos y los separa lo imaginario y lo real de las piezas y resolver simultáneamente con suerte!
A partir de la con $x=i$
$$\Longrightarrow p(i)=2(i)^3+p(i)^2+(-3-5i)i+q=0$$
$$ \Leftrightarrow -2i -p +5 - 3i +q=0$$
$$ \Leftrightarrow q-p+5-5i=0$$
$$ \Leftrightarrow (q-p+5)+i(-5)=0$$
Así que una ecuación tenemos es $q-p+5=0$
La próxima $x=\frac{1}{k}$
$$\Longrightarrow p(\frac{1}{k})=2(\frac{1}{k})^3+p(\frac{1}{k})^2+(-3-5i)\frac{1}{k}+q=0$$
$$\Leftrightarrow \frac{2}{k^3} + \frac{p}{k^2} - \frac{3}{k} - \frac{5i}{k}+q=0$$
$$ \Leftrightarrow (\frac{2}{k^3} + \frac{p}{k^2} - \frac{3}{k} +q) + i(\frac{-5}{k})=0$$
Así que otra ecuación que tenemos es $\frac{2}{k^3} + \frac{p}{k^2} - \frac{3}{k} +q=0$ desde $\frac{-5}{k} \neq 0$
La última raíz tenemos es $x=-1-k$
$$\Longrightarrow p(-1-k)=2(-1-k)^3+p(-1-k)^2+(-3-5i)(-1-k)+q=0$$
$$ \Leftrightarrow -2(k+1)^3+p(k+1)^2+3+3k+5i+5ki+q=0 $$
$$ \Leftrightarrow (-2(k+1)^3+p(k+1)^2+3+3k+q)+i(5+5k) =0 $$
2 las otras ecuaciones tenemos son $-2(k+1)^3+p(k+1)^2+3+3k+q=0$ $5+5k=0$
De ahí el 4 ecuaciones tenemos son
$$q-p+5=0 $$
$$\frac{2}{k^3} + \frac{p}{k^2} - \frac{3}{k} +q=0$$
$$-2(k+1)^3+p(k+1)^2+3+3k+q=0$$
$$5+5k=0$$
De la última ecuación $k=-1$ y subbing esta en la tercera ecuación llego $q=0$ y subbing que en la segunda ecuación llego $p=1$ pero subbing $q$ $p$ a $q-p+5$ no es cierto que no me vaya mal? Yo también creo que no se me ha hecho ninguna algebraica de error.
