¿Ecuación mal en capítulo 6 de la teoría de la probabilidad de Jaynes?

Question

Ecuación de Jaynes teoría de las probabilidades capítulo 6.

$$\sum_{R=0}^N\binom{R}{r} \times \binom{N-R}{n-r} = \binom{N+1}{n+1}.$$

La siguiente es mi prueba.

Con un $$\sum_{R=0}^N\binom{R}{r} \times \binom{N-R}{n-r}$% $ $$\binom{R1}{r} \times \binom{N-R1}{n-r} = \binom{N}{n}$$ para obtener % $ $$(N+1) \times \binom{N}{n}$

No sé que paso que se está equivocado. Ayuda, muchas gracias.

Answer 1

La identidad en el libro es correcto. Vamos a demostrar.

Empezar con identidad $$\etiqueta{1}\label{1} \dfrac{x^r}{(1-x)^{i+1}}\dfrac{x^{n-r}}{(1-x)^{n-r+1}}x = \dfrac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}}. $$ Necesitamos la serie de Taylor para las tres fracciones (\ref{1}). Después tenemos la intención de comparar algunos de los coeficientes en ambos lados. Empezar con series de Taylor (para $|x|<1$) $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty x^i $$ y encontrar el $r$th derivados: $$ \frac{d^r}{dx^x}\left[\frac{1}{1-x}\right]=\frac{r!}{(1-x)^{i+1}}=\frac{d^r}{dx^x}\left[\sum_{i=0}^\infty x^i\right]=\sum_{i=r}^\infty \frac{i!}{(i-r)!} x^{r} $$ Multiplicar por $x^r$ y dividir ambas partes por $r!$ para obtener la siguiente identidad: $$\etiqueta{2}\label{2} \frac{x^r}{(1-x)^{i+1}}=\sum_{i=r}^\infty {i\elegir r}x^i=\sum_{i=0}^\infty {i\elegir r}x^i, $$ donde${i\choose r}=0$$i<r$. Con está serie de Taylor de primer término en l.h.s. de (\ref{1}). Para el segundo término tenemos $$\etiqueta{3}\label{3} \frac{x^{n-r}}{(1-x)^{n-r+1}}=\sum_{j=0}^\infty {j\elegir n-r}x^j, $$ y para r.h.s. $$\etiqueta{4}\label{4} \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}}=\sum_{k=0}^\infty {k\, seleccione {n+1}}x^k, $$

Reemplace todas las fracciones en (\ref{1}) por serie de Taylor: $$ \text{l.h.s.}=x \sum_{i=0}^\infty {i\elegir r}x^i \sum_{j=0}^\infty {j\elegir n-r}x^j = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty {i\elegir r}{j\elegir n-r}x^{i+j+1}, $$ $$\text{r.h.s.}=\sum_{k=0}^\infty {k\, seleccione {n+1}}x^k. $$ Tome $k=N+1>n+1$ en los últimos suma y comparar los coeficientes de $x^{N+1}$ l.h.s. y en r.h.s. En r.h.s. el coeficiente de $x^{N+1}$ es igual a $$ {N+1\, seleccione {n+1}} $$ En l.h.s. debemos sumar todos los términos con los índices de $i+j+1=N+1$ o $i+j=N$. El interior de la suma en l.h.s. desaparece desde $j=N-i$. El coeficiente de $x^{N+1}$ l.h.s. es igual a $$ \sum_{i=0}^N {i\elegir r}{N-i\elegir n-r} $$ y tenemos una identidad $$ \sum_{i=0}^N {i\elegir r}{N-i\elegir n-r} ={N+1\, seleccione {n+1}} $$ Reemplace $i$ $R$ y obtener la inicial de la identidad correcta del libro: $$ \sum_{I=0}^N {R\elegir r}{N-R\elegir n-r} ={N+1\, seleccione {n+1}}. $$ Donde, como se mencionó anteriormente, todos los coeficientes binomiales ${k\choose s}$ son cero si $k<s$.

Answer 2

Si r es una constante, el rango de r es [0, n]. De la prueba cuando considero r como una variable, el total de los casos cuando son una constante será 1 / (n + 1). Entonces el resultado incorrecto $$ (N+1) \times \binom{N}{n}$ $ será $$ \binom{N+1}{n+1} $ $