Differentiability de $x^2\log(x^4+y^2)$ $(0,0)$

Question

Basado en esta pregunta, tengo la función $$ f(x,y)=\begin{cases} x^2\log(x^4+y^2), & (x,y)\in\mathbb{R}^2-\{(0,0)\},\\ 0, & (x,y)=(0,0). \end{casos} $$ Me gustaría estudiar su continuidad y la diferenciabilidad en $(0,0).$

La continuidad

Para la continuidad, veo que puedo volver a escribir la expresión de la $x^2\log(x^4+y^2)$ $$ \sqrt\frac{x^4}{x^4+y^2}\cdot\sqrt{x^4+y^2}\log(x^4+y^2), $$ y dado que:

1. $\sqrt\frac{x^4}{x^4+y^2}$ son los siguientes: $$ 0\leq\sqrt\frac{x^4}{x^4+y^2}\leq1; $$
2. para $\sqrt{x^4+y^2}\log(x^4+y^2)$ I puede utilizar el límite conocido $$ \lim_{t\to0}t^\alpha\log t=0,\qquad\forall\alpha>0; $$

Yo a la conclusión de que $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}f(x,y)=0, $$ así que la función es continua en $(0,0).$

La existencia y la continuidad de la derivada respecto a $x$

Algo similar se puede hacer para que la derivada con respecto al $x$ $(0,0),$ en hecho $$ f'_x(0,0)=\lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2\log(x^4+y^2)-0}{x 0}=\lim_{(x,y)\a(0,0)}x\log(x^4+y^2) $$ y la expresión de $x\log(x^4+y^2)$ podría ser escrito como $$ \operatorname{signo}x\cdot\sqrt[4]\frac{x^4}{x^4+y^2}\cdot\sqrt[4]{x^4+y^2}\log(x^4+y^2), $$ cuyo límite, como antes, es $0.$
Como para el límite de la función derivada con respecto a $x$, es $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}f'_x(x,y)=\lim_{(x,y)\a(0,0)}\left(2x\log(x^4+y^2)+\frac{4x^5}{x^4+y^2}\right) $$ y el primer término de la suma es como antes, mientras que el segundo puede ser escrito como el producto de $4x$, que va a $0$, por una limitada proporción, por lo que el límite es $0$ y puedo concluir que $f'_x(x,y)$ es continua en a $(0,0).$

La existencia y la continuidad de la derivada respecto a $y$

Para la derivada con respecto al $y$ que las cosas son diferentes, he $$ f'_y(0,0)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\log(x^4+y^2)-0}{y-0}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{y}\log(x^4+y^2) $$ que no soy capaz de volver a escribir en una forma que es más sencillo de gestionar. Por otra parte, si hago el límite a lo largo de las curvas de $y=x^2$ $y=-x^2$ I get $$ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}\log(2x^4)=-\infty\\ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{-x^2}\log(2x^4)=+\infty $$ así que la derivada con respecto al $y$ no existe en $(0,0),$, y la función no puede ser diferenciable en a $(0,0).$

La pregunta

Habida cuenta de todo esto, mi pregunta es:
esta pregunta está mal decir $f$ es diferenciable, o estoy cometiendo algún error?
También los gráficos de $f$ parece bastante suave alrededor de $(0,0)$:

Answer 1

Mi error fue el uso de la fórmula incorrecta $$ f'_x(0,0)=\lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x 0} $$ en lugar de la correcta $$ f'_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x 0} $$ y el mismo error de $f'_y(0,0)$.
Con esta corrección puedo conseguir $$ f'_x(0,0)=\lim_{x\to0}x\log x^4=0 $$ y $$ f'_y(0,0)=\lim_{y\to0}0=0 $$ Ahora $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}f'_y(x,y)=\lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac{2x^2y}{x^4+y^2} $$ y esto es $\pm1$ a lo largo de las líneas de $y=\pm x^2$, así que no puedo decir si $f$ es diferenciable en a $(0,0)$ por la continuidad de las derivadas parciales, que debo usar la definición, es decir, $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-f'_x(0,0)x-f'_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 $$ así que debo calcular $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}\frac{x^2\log(x^4+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\sqrt[4]\frac{x^4}{x^4+y^2}\cdot\sqrt[4]{x^4+y^2}\log(x^4+y^2)=0, $$ debido a que el producto de dos delimitadas las funciones y un tercero que va a $0$.

Finalmente llego a la conclusión de que $f$ es diferenciable en a $(0,0)$.