Cómo resolver esta integral: $\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}\:dx$

Question

Estoy tratando de resolver una integral como esta: $$I=\int \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx$$ Y recibo esta respuesta: $$\int \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}dx=x^2-\frac{x^2}{e^x+1}-2x\text{ln}(e^x+1)+2\int\text{ln}(e^x+1)dx$$ Donde ln denota logaritmo natural . La última integral puede reescribirse como Li $_2(-e^x)$ : $$\begin{gather} \int\text{ln}(e^x+1)dx=\begin{cases} u=e^x\\ du=e^xdx\Rightarrow dx={du\over u}\end{cases} \Flecha derecha \Rightarrow \int\text{ln}(e^x+1)dx=\int\frac{\text{ln}(u+1)}{u} du \N - fin {reunión} Como Li $_1(z)=-\text{ln}(1-z)\Rightarrow \text{ln}(u+1)=\text{ln}(1-(-u))=-\text{Li}_1(-u)$ , se produce: \begin{gather} \int\frac{\text{ln}(u+1)}{u} du=-\int\frac{\text{Li}_1(-u)}{u}du=-\text{Li}_2(-u)=-\text{Li}_2(-e^x) \end{gather}$$ Finalmente: $$\begin{gather} \int \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx=\int \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}dx=x^2-\frac{x^2}{e^x+1}-2x\text{ln}(e^x+1)-2\text{Li}_2(-e^x) \end{gather}$$ Ahora, necesito evaluar $I$ de $-\infty$ a $\infty$ . Lo he resuelto en Wolfram Alpha, pero aunque suele mostrar la opción paso a paso, en este caso, no lo hace. El resultado es $\pi^2/3$ que apenas es $\zeta(2)$ , donde $\zeta(\cdot)$ es la función zeta de Riemann, estrechamente relacionada con los polilogaritmos. Así que la cuestión es cómo evaluar esta integral a partir de $-\infty$ a $\infty$ . Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia . Obsérvese que tenemos $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}\:dx&=\int_{-\infty}^0 \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}\:dx+\int_0^\infty \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}\:dx\\\\ &=2\int_0^\infty \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}\:dx\\\\ &=2\int_0^\infty \frac{x^2e^{-x} }{(1+e^{-x})^2}\:dx\\\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}n(-1)^{n-1}\underbrace{\int_0^\infty x^2e^{-nx} \:dx}_\color{red}{{\large 2/n^3}}\\\\ &=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\\\\ &=\frac{\pi^2}3. \end{align}$$

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Algunos detalles. Podemos recordar que (la suma geométrica estándar) $$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^n=\frac{1}{1+u}, \qquad |u|<1,$$ entonces diferenciando término a término y multiplicando por $u$ da $$\sum_{n=1}^{\infty}n(-1)^{n-1}u^n=\frac{u}{(1+u)^2}, \qquad |u|<1.$$ Al poner $u:=e^{-x}$ en la identidad anterior, obtenemos $$\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n(-1)^{n-1}e^{-nx}, \qquad x>0,$$ lo que lleva a $$\int_0^\infty \frac{x^2e^{-x} }{(1+e^{-x})^2}\:dx=\sum_{n=1}^{\infty}n(-1)^{n-1}\int_0^\infty x^2e^{-nx}\:dx.$$

Answer 2

A menudo, con primitivas tan complicadas, sugiero no calcular la primitiva, sino utilizar algún truco, como introducir un parámetro y diferenciar con respecto a él. Lee a continuación si te interesa esta forma de calcular esta integral. Dime si esto se aleja de lo que buscabas.

Primero, como el integrando es par, su integral es igual a $$2\int_0^{+\infty}\frac{x^2e^x}{(1+e^x)^2}\,dx.$$ Introduzca $$f(a)=\int_0^{+\infty}\frac{x}{1+e^{ax}}\,dx.$$ Entonces, su integral es igual a $-2f'(1)$ . Para calcular $f(a)$ observamos que $$\frac{x}{1+e^{ax}}=x\bigl(e^{-ax}-e^{-2ax}+e^{-3ax}-\cdots\bigr)$$ y $$\int_0^{+\infty}(-1)^{k+1}xe^{-akx}\,dx=\frac{1}{a^2}(-1)^{k+1}\frac{1}{k^2}.$$ Lo entendemos. $$f(a)=\frac{1}{a^2}\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{a^2}\frac{\pi^2}{12}.$$ Queda por comprobar que $$-2f'(1)=-2\cdot(-2)\cdot\frac{\pi^2}{12}=\frac{\pi^2}{3}.$$

Editar

Hay muchas formas de calcular $\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}1/k^2$ . Una es utilizando el problema de Basilea $$\frac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=-\int_0^1\frac{\ln x}{1-x}\,dx$$ junto con (le dejo los cálculos a usted) $$\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k^2}=\int_0^1\frac{\log(1+x)}{x}\,dx=-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\ln x}{1-x}\,dx.$$ Otra es mediante la inserción de $x=0$ en la serie de Fourier (para $x=0$ el $\sim$ puede sustituirse por $=$ por un conocido teorema sobre la convergencia de las series de Fourier) $$x^2\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k\frac{\cos kx}{k^2}.$$ Debe haber preguntas sobre el "problema de la alternancia de Basilea" en este sitio, pero mi búsqueda no lo encontró. Buena suerte, y dime si algo sigue sin estar claro.

Answer 3

Porque $\frac{x^2e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{x^2}{\left(e^{x/2}+e^{-x/2}\right)^2}$ es par, podemos integrar por partes y utilizar la Función eta de Dirichlet : $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{x^2e^x}{(e^x+1)^2}\,\mathrm{d}x &=2\int_0^\infty\frac{x^2e^x}{(e^x+1)^2}\,\mathrm{d}x\\ &=-2\int_0^\infty x^2\,\mathrm{d}\frac1{e^x+1}\\ &=4\int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=4\Gamma(2)\,\eta(2)\\[6pt] &=2\zeta(2)\\ &=\frac{\pi^2}3 \end{align}$$