Calcule la clase Wu de la clase Stiefel-Whitney

Question

El total de Stiefel-Whitney clase $w=1+w_1+w_2+\cdots$ está relacionado con el total de Wu clase $u=1+u_1+u_2+\cdots$: El total de Stiefel-Whitney clase $w$ es el Steenrod plaza de la Wu clase $u$: \begin{align} w=Sq(u),\ \ \ Sq=1+Sq^1+Sq^2 +\cdots . \end{align} El Wu clases puede ser definido a través de la Steenrod cuadrado (esto es correcto? ver http://ncatlab.org/nlab/show/Wu+clase) \begin{align} Sq^k(x)&=u_k x, \text{ for any } x \text{ with dim more than } k-1, \\ Sq^k(x)&=0, \text{ for any } x \text{ with dim less than } k. \end{align} donde $u_k x$ es entendida como $u_k\cup x$. Así tenemos (dosis el segundo signo igual?) \begin{align} w_i=\sum_{k=0}^i Sq^k u_{i-k} = \sum_{k=0}^{i-k-1} u_k u_{i-k} . \end{align}

Ahora tratamos de invertir la relación. Primero nos ampliar el anterior \begin{align} w_1&=u_1, \ \ \ w_2=u_2+u_1^2, \ \ \ w_3=u_3+u_1u_2, \end{align} Esto nos permite obtener \begin{align} u_1=w_1,\ \ \ u_2=w_2+w_1^2,\ \ \ u_3=w_3+w_1w_2+w_1^3,\ \ \ \end{align}

Pero en http://ncatlab.org/nlab/show/Wu+clase (y en varios otros lugares), se dice $u_3=w_1 w_2$. Tengo que cometió un error en mis cálculos por encima, pero no sé donde. Gracias por la ayuda.

Answer 1

La relación puede ser escrita de manera más concreta como $$ w_{k}=\sum_{i+j=k}Sq^{i}(u_{j}) $$ donde $u=1+u_{1}+u_{2}\cdots +u_{n}$ es el Wu de la clase. La expansión que hemos $$ w_1=Sq^{1}u_{0}+Sq^{0}u_{1}=u_1 $$ debido a $\mu_0=1\in H^{0}(M)$ $Sq^{i}(a)=0$ $i>n$ si $a\in H^{i}(M)$.

La segunda relación es $$ w_{2}=Sq^{2}u_{0}+Sq^{1}u_{1}+Sq^{0}u_{2}=u_{1}\cup u_{1}+u_{2} $$ Por lo tanto, el uso de mod 2 coeficientes hemos $$ u_{2}=w_{2}+w_{1}\cup w_{1} $$ La tercera relación es $$ w_{3}=Sq^{3}u_{0}+Sq^{2}u_{1}+Sq^{1}u_{2}+Sq_{0}u_{3}=Sq^{1}u_{2}+u_{3} $$ Por lo tanto, es suficiente para calcular el $Sq^{1}w_{2}+Sq^{1}(w_{1}\cup w_{1})$. La segunda puede ser calculado por la Cartan fórmula: $$ Sq^{1}(w_{1}\cup w_{1})=Sq^{1}w_{1}\cup w_{1}+w_{1}\cup Sq^{1}w_{1}=0 $$ porque de la mod 2 coeficientes de que estamos tomando. Ahora tenemos $$ Sq^{1}w_{2}=u_{1}\cup w_{2}=w_{1}\cup w_{2} $$ Por lo tanto, tenemos $$ u_{3}=w_{1}\cup w_{2}+w_{3} $$

La cuarta relación es $$ w_{4}=Sq^{4}u_{0}+Sq^{1}u_{3}+Sq^{2}u_{2}+Sq^{1}u_{3}+Sq^{0}u_{4}=Sq^{2}u_{2}+Sq^{1}u_{3}+u_{4} $$

Tenemos $$ Sq^{2}u_{2}=u_{2}\cup u_{2}=(w_{1}\cup w_{1}+w_{2})\cup (w_{1}\cup w_{1}+w_{2})=w_{2}\cup w_{2}+w_{1}\cup w_{1}\cup w_{1}\cup w_{1} $$ debido a mod 2 coeficientes. El segundo término es $$ Sq^{1}u_{3}=w_{1}(w_{1}\cup w_{2}+w_{3})=w_{1}\cup w_{1}\cup w_{2}+w_{1}\cup w_{3} $$ Por lo tanto, el resultado neto es $$ u_{4}=w_{4}+w_{1}\cup w_{1}\cup w_{2}+w_{1}\cup w_{3}+w_{2}\cup w_{2}+w_{1}\cup w_{1}\cup w_{1}\cup w_{1} $$ y es que parece ser diferente de la n-laboratorio de la página. Aquí asumo $w_{1}\cup w_{1}\cup w_{1}\not=0$. Pero si esto es cierto, entonces un plazo adicional de $w_{1}\cup u_{3}$ plazo debe cancelar. Así que al final, no debería haber ningún $w_{1}^{4}$ plazo de cualquier manera. En otras palabras, el buen resultado se debe $$ u_{4}=w_{4}+w_{1}\cup w_{1}\cup w_{2}+w_{1}\cup w_{3}+w_{2}\cup w_{2} $$ en su lugar.

Comentario: No sé cómo mostrar $w_{1}\cup w_{1}\cup w_{1}$ desaparece de otro modo; tal vez he cometido un error. Esto no parece ser cierto si uno calcular el Stiefel-Whitney clase de $\mathbb{RP}^{6}$, por ejemplo. Pero creo $w_{3}$ debe, en general, no se desvanecen. Por lo tanto el n-laboratorio de la página de resultado puede ser incorrecto. Si usted descubre un error en mi cálculo, por favor hágamelo saber.

Referencia:

Milnor y Stasheff, página 91, página 132.