«Extensión» del Grupo ortogonal

Question

Estoy en busca de una mentira de grupo $G$, subgrupo de $GL(n,\Bbb{R})$, y que contiene un $O(n,\Bbb{R})$ como un subgrupo: $$ O(n,\Bbb{R}) \subseteq G \subseteq GL(n,\Bbb{R}). Ejemplos obvio $$: el grupo conformal y el grupo linear especial.

Ahora, me gustaría $G$ tener exactamente una dimensión más del $O(n,\Bbb{R})$. ¿Es el grupo conformal la única posibilidad, o hay otros?

Gracias.

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Answer 1

$n>2$ deje $G$ ser un subgrupo de $GL(n)$ tal que $O(n)\subset G$$dim(G)=dim(O(n))+1$. Denotamos por a $G_0$ el componente conectado de $G$. Sabemos que $SO(n)$ es simple, esto implica que $SO(n)\subset [G_0,G_0]$. Por lo tanto $dim([G_0,G_0]\geq dim(G_0)-1$. No podemos tener a $dim([G_0,G_0])=dim(G_0)$ ya que esto implica que $G$ es un simple hecho de que es imposible, (mire la dimensión de real simple grupos https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_Lie_group). Podemos deducir que $SO(n)$ es normal en $G_0$.

Deje $A\in G_0$ no $SO(n)$, podemos escribir $A=UV$ donde $U$ es ortogonal y $V$ un simétrica positiva definida la matriz de la descomposición polar de $A$), ya que $A$ es en el normalizador de la $SO(n)$, por lo que es $V$. Sabemos que un simétrica positiva definida la matriz es diagonalizable. Supongamos que existe dos vectores propios, $c,d$ $V$ cuya norma es de 1 asociado a distintos autovalores $x$$y$. Podemos definir una ortogonal mapa de $B$ tal que $B(c)=d$, existe un ortogonales mapa de $E$ tal que $VB=EV$ desde $V$ normaliza $SO(n)$. Tenemos $VB(c)=V(d)=yd=EV(c)=E(xc)$. Desde $E$ es ortogonal, podemos deducir que la norma de $xc$ es la norma de la $yd$, esto es imposible, ya que el hecho de que la norma de $c$ $d$ $1$ implica que el $x$ $y$ tienen el mismo valor absoluto, esto último implica que $x=y$ desde $V$ es positiva definida.

Podemos deducir que $G_0$ es el grupo de la conformación de las transformaciones.

Answer 2

Las transformaciones ortogonales preservan la norma de un vector. Puede tomar el producto de ese grupo con el grupo multiplicativo unidimensional que escala los vectores por factores reales distintos de cero (una copia de$\Bbb{R} \backslash \{0\}$), en otras palabras, los múltiplos distintos de cero de la matriz de la unidad.