Conjetura: inyección de excepcionales abc-trillizos a números naturales

Question

Mi pregunta Una conjetura con conexión a la $abc$-conjetura es acerca de una conjetura de inyección de excepcional $abc$-trillizos $(a,b,c)\mapsto a^2+b^2$, pero esta pregunta trata de una conjetura de inyección de excepcional $abc$-trillizos $(a,b,c)\mapsto a+2b$. Es similar pero no un duplicado.

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Los números de $\,a,b,c\,$ $abc$- triplete si son coprime y $a+b=c$. Una versión de la abc-conjetura es entonces:

Para todos los $\varepsilon>0$ el conjunto $E_\varepsilon$ de todos los $abc$-trillizos con $c>\text{rad}(a\cdot b\cdot c)^{1+\varepsilon}$ es finito. donde $\,\text{rad}(p_1^{n1}\cdots p_k^{n_k})=p_1\cdots p_k$ $\,p_1,\dots ,p_k$ son arbitrarias de los números primos.

Pero es sabido que la $E_0$ es infinito. Conjetura:

Para $abc$-trillizos, donde $a<b$,
$(a,b,c),(a',b',c')\in E_0\,$ y $\,a+2b=a'+2b'\implies \{a,b\}=\{a',b'\}$

Hasta ahora probado para todas las $a,b$ menos de $100,000$. Esto puede ser demostrado?

No hay exclusividad para $a+b$, $a-b$ o $2a+b$.

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Answer 1

La conjetura no es verdad. Para un contraejemplo, considere $$ (a, b, c) = (1,386560,386561) \ quad (a ', b', c ') = (4913,384104,389017) $$ que son$abc$ -triplets con$a<b$,$a'<b'$,$a+2b=a'+2b'$ y$\{a,b\}\neq\{a',b'\}$.