Respuesta
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Elija arbitrariamente$x,y$ y$\alpha,\beta \in (0,1),\ \alpha+\beta=1$. Desea probar que$f(\alpha x +\beta y) \geq \alpha f(x)+\beta f(y)$. Esto es equivalente a
$$ \ log \ frac {e ^ {\ alpha x_1 + \ beta y_1}} {\ sum e ^ {\ alpha x_i + \ beta y_i}} \ geq \ log \ frac {e ^ {\ alpha x_1 + \ beta y_1}} {(\ sum e ^ {x_i}) ^ \ alpha (\ sum e ^ {y_i}) ^ \ beta} $$
y equivalentemente
ps
que es exactamente la desigualdad de Holder en el caso discreto (tenga en cuenta que$$ \sum_{i=1}^n e^{\alpha x_i+\beta y_i}\leq (\sum_{i=1}^n e^{x_i})^\alpha (\sum_{i=1}^n e^{y_i})^\beta $.
