Supongamos que $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ es una función continua y $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$ existe. Demostrar que $f$ es uniformemente continua en a $[0,\infty)$.
Aquí está mi solución, pero debido a que el problema se ha dado en un concurso de matemáticas programa de preparación me temo que hay algún punto que me puede estar faltando.
Desde $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$ existe, existe $L \in \mathbb{R}$ tal forma que:
$\forall \epsilon>0, \exists M>0 \text{ such that } x > M \implies |f(x)-L|<\epsilon/2$
$\forall \epsilon>0, \exists M>0 \text{ such that } y > M \implies |f(y)-L|<\epsilon/2$
Por lo tanto, $\forall x,y \in (M,\infty)$ hemos demostrado que: $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.
Ahora, consideremos $f$$[0,M]$. Desde $[0,M]$ es un intervalo compacto y $f$ es continua, $f$ es uniformemente continua en a $[0,M]$:
$\forall \epsilon>0, \exists \delta_1>0, \forall x,y \in [0,M]: |x-y|<\delta_1 \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$.
Ahora vamos a centrar nuestra atención en $x=M$.
Desde $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ es continua, es continua en a$x=M$. Por lo tanto:
$\epsilon>0, \delta_2>0, \forall x: |x-M|<\delta_2 \implies |f(x)-f(M)|<\epsilon/2$
Así que, para cualquier $x,y \in (M-2\delta_2,M+2\delta_2)$ tenemos $|f(x)-f(y)|<\epsilon$
Ahora bien, si establecemos $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ vemos que todas las $3$ de los casos por encima de convertirse en verdaderos y llegamos a la conclusión de que $\forall x,y \in [0,\infty): |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$. Esto demuestra que $f$ es uniformemente continua en a $[0,\infty)$.
Es mi falta de sentido considerar una prueba?
