Si $\phi_1$ y $\phi_2$ son dos caminos en un grupo de mentira, ¿cuál es el % de derivados $(\phi_1 \times \phi_2)^\prime(0)$?

Question

Que $\phi_1, \phi_2$ ser dos caminos en una mentira de grupo $G$ $\phi_i(0) = g_i \in G$ y $\phi^\prime(0) = X_i \in \frak{g}$. Indicar $\psi(t) = \phi_1(t) \phi_2(t)$. Tenemos $\psi(0) = g_1 g_2$. ¿Qué es $\psi^\prime(0)$?

Por definición, es el diferencial definido para cualquier % lisa $f : G \to \mathbb{R}$por\begin{eqnarray} \psi^\prime(0)(f) &=& \frac{d}{dt}\left(f \circ \psi(t)\right)|_{t = 0} \ &=& \frac{d}{dt}\left(f \circ (\phi_1(t) \phi2(t))\right)|{t = 0} \ &=& \frac{d}{dt} \left(f ( L_{\phi_1(t)} \phi2(t) \right)|{t = 0} \ \end{eqnarray }

No veo cómo proceder desde allí y ver cómo la derivación.

Answer 1

Deje $m : G\times G \to G$ ser la multiplicación de mapa. A continuación,$\psi (t) = m(\phi_1(t), \phi_2(t))$. Por la regla de la cadena,

$$ \psi'(0) = m_* (\phi_1'(0), \phi'_2(0)),$$

donde $m_* : T_{g_1}G \times T_{g_2} G \to T_{g_1g_2} G$ es el derivado de la $m$$(g_1, g_2)$. El diferencial de $m$ se puede calcular fácilmente (ver aquí). En particular a partir de $m_*$ es bilineal, tenemos

$$m_* (\phi_1(0), 0) = \frac{d}{dt} \phi_1(t)g_2 \bigg|_{t=0} = (r_{g_2})_* X_1,$$

$$m_* (0, \phi_2(0)) = \frac{d}{dt} g_1\phi_2(t)\bigg|_{t=0} = (\ell_{g_2})_* X_2.$$

Así $$\psi'(0) = (r_{g_2})_*X_1 + (\ell_{g_1})_* X_2.$$

Uno puede escribir de todo, como si están en la Mentira de álgebra $\mathfrak g$: Vamos a decir que somos la identificación de cada una de las $T_gG$ $\mathfrak g : = T_eG$ por la izquierda de la multiplicación

$$\tag{1} (\ell_g)_* : \mathfrak g \to T_gG.$$

A continuación, $X_1, X_2$ son realmente $(\ell_{g_1})_* Y_1$ $(\ell_{g_2})_* Y_2$ algunos $Y_1, Y_2 \in \mathfrak g$ respectivamente. Entonces

$$\begin{split} \psi'(0) &= (r_{g_2})_*X_1 + (\ell_{g_1})_* X_2 \\ &= (r_{g_2})_*(\ell_{g_1})_* Y_1 + (\ell_{g_1})_* (\ell_{g_2})_* Y_2 \\ &= (\ell_{g_1})_* (r_{g_2})_* Y_1 +(\ell_{g_1g_2})_* Y_2 \\ &= (\ell_{g_1})_* (\ell_{g_2})_* (\ell_{g_2^{-1}})_* (r_{g_2})_* Y_1 +(\ell_{g_1g_2})_* Y_2 \\ &= (\ell_{g_1g_2})_* (\text{Ad}_{g_2^{-1}} Y_1 + Y_2) \end{split}$$

Así tenemos $$\psi'(0) = \text{Ad}_{g_2^{-1}} Y_1 + Y_2$$ en virtud de la identificación de $(1)$. Aquí $\text{Ad}_g : \mathfrak g \to \mathfrak g$ es el Adjunto de la representación, que es, por definición, el diferencial de la conjugada de asignación de $$ G \to G , \ \ \ h \mapsto g hg^{-1}.$$