Pregunta de ecuación de matriz

Question

Alguien podria ayudarme con solucionar tal problema de matriz:

Encontrar todas las matrices $A$ (no cero y matrices de identidad), que corresponde a esta ecuación:

$$ A ^ 2 = A ^ 3 $$

Answer 1

Para cada bloque de Jordan de $A$, denotado como $J=\lambda I+N$, donde $N$ es una matriz nilpotente con el % de propiedad $N^n=0, N^k\ne0(k<n ahora="" desde="" ecuaci="" la="" obtener:="" puede="" satisface="" se="" tambi="">Así que el orden de $J$ debe ser menor que $4$ $N^3=0$. Si $order=1$, $J=0\text{ or }1$. Si $order=2$, $J=\begin{pmatrix} 0&1\ 0&0 \end{pmatrix}$. And no $\lambda$ can be found when $order=3$. Finally, such $J$'s (or their transpositions) direct sum provides an instance of $A$. Por ejemplo,

$A =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} $$

</n>

Answer 2

La matriz dada $A$ describe una transformación lineal ${\mathbb R}^n\to {\mathbb R}^n$ que denotamos por a$A$.

Así que ahora estamos hablando de una transformación lineal $A:\ X\to X$ de algún espacio vectorial $X$ que satisface $A^2=A^3$. De ello se desprende que $(A^2)^2 = A (A^3) = A(A^2) = A^3 = A^2$, lo $A^2$ es una proyección. Deje ${\rm im}(A^2) =: U$${\ker}(A^2)=V$; a continuación, "principios generales" $X=U\oplus V$. Para cualquier $y\in U$ hay un $x\in X$$y=A^2 x$. De esto podemos obtener $Ay=A^3 x =A^2 x= y$, es decir, $A$ es la identidad en $U$. Deje $W:={\rm ker} A \subset V$, y se eligió un subespacio $W'\subset V$ tal que $V=W \oplus W'$. $A$ restringido a $W'$ es inyectiva, pero para cualquier $y\in W'$ tenemos $A (Ay)=0$, de donde $Ay\in W$.

Ahora, escoge una base $(e_i)_{1\leq i\leq n}$ $X$ como sigue: La primera a $r$ vectores $e_i \ (1\leq i\leq r)$ formulario de una base de $U$, $d$ vectores $e_{r+ 2k-1} \ (1 \leq k\leq d)$ formulario de una base de $W'$, y el $d$ vectores $e_{r+ 2k}$ $\ (1 \leq k\leq d)$ se define como $e_{r+2k}:=A e_{r+2k-1}$ $\ (1 \leq k\leq d)$. Estos últimos forman un conjunto linealmente independiente en $W$. Por último, seleccione $e_i \in W$ $\ (r+2d+1\leq i\leq n)$ así que en total tenemos una base de $W$, donde de $V$.

Si ahora nos fijamos en la matriz de $A$ con respecto a esta base, a continuación, vemos primero $r$ unos en la diagonal principal, a continuación,$d$ $2\times2$- cajas de $\left[\matrix{0 & 0\cr 1 & 0\cr}\right]$ a lo largo de la diagonal principal, y todo lo demás es $0$.

Así, hemos demostrado el siguiente: Si una matriz dada $A$ satisface $A^2=A^3$, a continuación, por la elección de un adecuado nueva base de ${\mathbb R}^n$ podemos llegar a una matriz de la forma simple que acabamos de describir.

Answer 3

Dicha matriz tiene un mínimo de polinomio que divide $t^3-t^2 = t^2(t-1)$. Por lo tanto, el polinomio característico es de la forma $t^n(t-1)^m$ para algunos de los números enteros no negativos $n$ $m$ que se añade a la dimensión de la matriz.

• Si el polinomio mínimo es $(t-1)$, entonces la matriz es la identidad.
• Si el polinomio mínimo es $t$, entonces la matriz es la matriz cero.
• Si el polinomio mínimo es $t(t-1)$, entonces la matriz es diagonalizable y la única autovalores son $0$$1$, por lo que la matriz es una proyección.
• Si el polinomio mínimo es $t^2$, entonces la matriz es nilpotent: su forma canónica de Jordan tiene al menos un $2\times 2$ bloque de la forma $$\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),$$ no hay bloque de tamaño mayor que $2\times 2$, y todos los bloques asociados a $\lambda=0$.
• Si el polinomio mínimo es $t^2(t-1)$, entonces la forma canónica de Jordan de la matriz es como el anterior, excepto que también tiene al menos un $1\times 1$ bloque asociado a $\lambda = 1$, y todos los bloques asociados a$\lambda=1$$1\times 1$.

Answer 4

¡Esto está mal! ¡Lo siento!

$A^3=A^2$ es igual a $A(A-I)(A+I)=0$. A resuelve su propia ecuación característica. Así que encontrar todas las $A's$ cuyos valores propios son $0, 1,-1$.