Definiciones de rizo y divergencia - ¿Es esta definición matemáticamente correcta?

Question

He estado usando Stewart's Cálculo: Early Transcendentals en mi clase de Cálculo, y una de las definiciones de rizo que ofrecía el libro era $$\text{curl } \vec F = \nabla\times \vec F$$ donde $\,\nabla=\left\langle\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right\rangle$ . Mi pregunta es, ¿por qué se nos permite poner operaciones en un vector y luego "multiplicarlas" con componentes de $\vec F$ ¿en ese sentido?

Answer 1

Estoy de acuerdo con @Ian, esta notación se utiliza para memorizar la fórmula más que como una definición estricta y formal del concepto matemático. Permítanme citar artículo sobre el rizo de Wikipedia:

La notación $\,\nabla \times \overrightarrow{F}\,$ tiene su origen en las similitudes con el $3$ producto cruzado dimensional, y es útil como mnemónica en coordenadas cartesianas si $\,\nabla\,$ se toma como un operador diferencial vectorial del. Este tipo de notación con operadores es común en física y álgebra. Sin embargo, en ciertos sistemas de coordenadas, como las coordenadas polares-toroidales (comunes en la física del plasma), el uso de la notación $\,\nabla \times \overrightarrow{F}\,$ dará un resultado incorrecto.

Ampliado en coordenadas cartesianas ... , $\,\nabla \times \overrightarrow{F}\,$ es, para $\,\overrightarrow{F}\,$ compuesto por $\,\left[\begin{array}{3} F_x,& F_y, &F_z\end{array}\right]\,$ :

\begin{align} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \end{align}

donde $\,\mathbf{i},\, \mathbf{j},\,$ y $\,\mathbf{k}\,$ son los vectores unitarios del $\,x,\, y,\,$ y $\,z\,$ ejes, respectivamente. Esto se expande de la siguiente manera:

\begin{align} \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} \end{align}