¿Existe una geometría hiperbólica equivalente a las transformaciones de Möbius en geometría esférica?

Question

Hay un sentido en el que todas las propiedades "interesantes" de las funciones en geometría esférica son invariantes bajo conjugación por una transformación de Möbius. La razón es que las transformaciones de Möbius corresponden a manipulaciones "poco interesantes" de toda la esfera, como se ilustra en este vídeo .

¿Existe una noción equivalente en geometría hiperbólica? En otras palabras, ¿existe una afirmación válida del tipo "Todas las propiedades interesantes de las funciones en geometría hiperbólica son invariantes bajo conjugación por un $\text{Foo}$ porque el $\text{Foo}$ s corresponden a manipulaciones poco interesantes del {plano medio superior, disco unidad, hiperboloide, etc}"?

Answer 1

Hay que tener en cuenta dos casos. La distinción podría expresarse mejor en términos de ese vídeo. Están las transformaciones que rotan la esfera pero la dejan en su sitio. Estas transformaciones carecen de interés en el sentido de que la geometría de la esfera es la misma, sólo ha cambiado su orientación. Pero también hay transformaciones que desplazan la esfera en el espacio. Si tomamos una esfera unitaria situada en el plano, la movemos en el espacio, la proyectamos sobre el plano y, a partir de ahí, la volvemos a proyectar a la esfera unitaria original (en lugar del traducido), el resultado será muy diferente. Por ejemplo, los grandes círculos se convertirán en círculos que no son grandes círculos. No creo que sea una transformación poco interesante.

La primera clase, realmente poco interesante, consiste en isometrías sobre la esfera. Su equivalente son las isometrías del espacio hiperbólico, que en el modelo del disco de Poincaré son las transformaciones de Möbius que fijan el círculo unitario. Por otro lado, la segunda clase consiste en mapas conformes que no son isometrías. En el caso esférico, el conjunto de todos los mapas conformes de la esfera (de Riemann) corresponde exactamente al conjunto de todas las transformaciones de Möbius. En el caso hiperbólico, se vuelve a considerar el modelo de disco de Poincaré, que es conforme en el sentido de que el ángulo hiperbólico y el euclídeo coinciden. El conjunto de puntos es el interior del disco unitario, y este conjunto tiene que ser mapeado sobre sí mismo. El conjunto de transformaciones conformes del disco unitario son exactamente las transformaciones de Möbius que fijan el disco unitario y, por tanto, también fijan el círculo unitario. Esto es una consecuencia del teorema del mapa de Riemann, que afirma que cualquier disco topológico puede ser mapeado conforme al disco unitario, y que este mapa es único hasta la transformación de Möbius. Por tanto, el disco unitario se mapea sobre sí mismo de una forma que es única hasta una transformación de Möbius que preserva el círculo, y como un mapa posible es la identidad, el conjunto de todos los mapas son las transformaciones de Möbius que preservan el círculo.

Así que para decirlo de forma concisa: No existen mapas conformes del plano hiperbólico sobre sí mismo que no sean isometrías hiperbólicas. Supongo que alguien más habrá hecho esta afirmación antes, pero de momento no tengo ni nombre ni referencia.

Nótese que toda la discusión anterior probablemente debería incluir las transformaciones anti-Möbius junto con las transformaciones de Möbius en muchos lugares, para incluir también las operaciones que invierten todos los ángulos. Sobre todo porque suelen incluirse con las isometrías. Pero esto no cambia nada del núcleo de esta discusión.