$(u,v)_{H^1} =0 \Rightarrow (u,v)_{L^2} =0$

Question

Permita que$\Omega \subset \mathbb{R}^d$ sea un conjunto abierto,$L^2(\Omega)$ sea el espacio de Lebesgue, y$H^1(\Omega)$ sea el espacio de Sobolev.

¿Mantiene eso

$(u,v)_{H^1} =0 \Rightarrow (u,v)_{L^2} =0$?

Answer 1

No, no se pueden sostener. Para $u,v\in C^1(\Omega)\cap H^1(\Omega)$ hemos $(u,v)_{H^1}=(u,v)_{L^2}+(u',v')_{L^2}$. Pero el producto escalar puede ser negativo también, por lo $(u,v)_{H^1}=0$ implica $(u,v)_{L^2}=-(u',v')_{L^2}$, que no es necesariamente el $0$.

Para $d=1$, $\Omega=(0,1)$ podemos considerar $u(x)=e^{2 x}$$v(x)=e^{-\frac12 x}$. Tenemos $$(u,v)_{H^1}=\int_0^1e^{\frac32x}~dx+\int_0^1-e^{\frac32x}~dx=0$$ mientras $$(u,v)_{L^2}=\int_0^1e^{\frac32x}~dx=\frac23\neq 0.$$ También se puede ver que la otra dirección es falsa también. Si $(u,v)_{L^2}=0$ no podemos deducir $(u,v)_{H^1}=0$. Aquí vamos a considerar $u(x)=x^2-\frac12$$v(x)=x$. Tenemos $$(u,v)_{L^2}=\int_0^1^3-\frac12 x~dx=\frac14-\frac12\cdot\frac12=0$$ mientras $$(u,v)_{H^1}=0+\int_0^12x~dx=1\neq 0.$$ Todos en todos, se ve que ortogonalidad en $L^2$ $H^1$ no son lo mismo.