¿Cuál es la estructura del módulo aquí?

Question

Que $A$ ser un anillo local con máxima ideal $\mathfrak{m}$, y que $M$ ser un $A$-módulo.

Quiero hacer el siguiente objeto en un módulo de % de $A/\mathfrak{m}$: $$A/\mathfrak{m} \otimes_A M

Intento multiplicar de esta manera:

$$\left( [a],\sum_{i = 1}^n [b_i] \otimes_A mi \right) \mapsto \sum{i=1}^n [ab_i] \otimes_A m_i$$

(Aquí, $[a]$ es la clase de $a \in A$ modulo $\mathfrak{m}$.)

¿Es la idea correcta y por qué o por qué no?

Creo que el hecho de que $\mathfrak{m} = \text{Ann}(A/\mathfrak{m})$ tiene algo que ver con él.

¡Gracias!

Answer 1

Cuando tienes un % de álgebra $A \to B$y un $A$-módulo $M$ el producto del tensor de $A$-módulos $B \otimes_A M$tiene la estructura de un módulo de % de $B$. Se puede construir limpiamente a través de la #% - mapa trilinear-$A$-#-{align*} pero tu comentario acerca de aniquiladores es buena también y los lazos en esta construcción: si $I$ es un ideal de $A$ y $(A/I) \otimes_A M \simeq M/(IM)$ y si $I$ está contenido en el annihilator de $M$ y $IM = 0$, que $(A/I) \otimes_A M \simeq M$. Pero tal vez es mejor demostrarlo sin productos del tensor.

Answer 2

Creo que esto se entiende mejor cuando no (necesariamente) conmutativa anillos están involucrados.

Si $R$ $S$ son anillos, un $R$-$S$-bimodule $_RM_S$ es un grupo abelian $M$ que es también una izquierda $R$-módulo y un derecho $S$-módulo, de modo que $$(rx)s=r(xs)$$ para todos $r\in R$, $x\in M$ y $s\in S$.

Si $M_S$ es un derecho $S$-módulo de e $N$ es una izquierda $S$-módulo, a continuación, $M\otimes_SN$ no tiene nada más que la estructura de abelian grupo, en general. Sin embargo, si $_RM_S$ es un bimodule, a continuación, $M\otimes_SN$ puede ser considerado como una izquierda $R$-módulo por la definición de $$r(x\otimes y)=(rx)\otimes y$$ extendida por la linealidad (sólo con respecto a las cantidades). Esto está bien definido, como el mapa $$l_r\colon M\times N\M\otimes_SN \qquad l_r(x,y)=(rx)\otimes y$$ es equilibrada, por lo que se induce un grupo de homomorphism $\lambda_r\colon M\otimes_SN\to M\otimes_SN$ tal que $\lambda_r(x\otimes y)=(rx)\otimes y$. Es de rutina para verificar que tenemos a la izquierda $R$-módulo de estructura en $M\otimes_SN$ definiendo $r(x\otimes y)=(rx)\otimes y$ (extendido por aditivo linealidad).

Cuando un anillo de $A$ es conmutativa, cualquier $A$-módulo puede ser considerado como un $A$-$A$-bimodule de una manera obvia; es por esta característica que permite considerar a $M\otimes_AN$ $A$- módulo, utilizando la configuración anterior.

En su caso, $A/\mathfrak{m}$ es un $A/\mathfrak{m}$-$A$-bimodule, por lo $A/\mathfrak{m}\otimes_AM$ se convierte en un $A/\mathfrak{m}$-módulo de $$[a]([x]\otimes y)=[ax]\otimes y$$ extendido por el aditivo de la linealidad.