En mi examen de matemáticas se me preguntó cuántos polígonos se necesitan para crear un poliedro que tenga $11$ vértices y $17$ aristas. Me gustaría ver cómo se vería la forma y yo puedo descifrar la parte de los polígonos por mí mismo.
Pista: Fórmula de Euler afirma que si un poliedro tiene $V$ vértices, $E$ aristas y $F$ caras, entonces $V-E+F = 2$. Esto te dice cuántas caras tiene el poliedro.
OK.. imagina un prisma pentagonal. Ahora elimina una de las caras laterales (rectangulares), y crea un vértice en el medio de cada una de las aristas laterales junto a ese hueco. Luego jala esos dos nuevos vértices juntos, extendiendo las caras laterales también en pentágonos. Finalmente, llena el hueco arriba y abajo del nuevo vértice con dos triángulos.
En uno de esos cambios clásicos de percepción, Henry reconoció que básicamente la misma forma que se muestra en mi imagen de arriba también podría lograrse a partir de un cubo con dos esquinas adyacentes cortadas para reducir un lado del cubo a un solo vértice restante.
Quizás más rápido para la misma forma de tipo: tomar un cubo ($8$ vértices, $12$ aristas), elegir el punto medio de una arista y desde allí cortar las esquinas tetraédricas en esa arista (así agregando $5$ vértices y $6$ nuevas aristas pero perdiendo $1$ arista existente).
Otro consejo: un poliedro es un grafo planar, así que dibuja 11 vértices en algún arreglo, e intenta dibujar 17 líneas no intersectantes que unan estos vértices de manera que dividan el plano en $F$ regiones, donde $F$ es el valor que obtuviste del consejo de JimmyK4542. ¡Ten en cuenta que la región que comprende toda el área "fuera" del grafo cuenta como una de las caras! Una vez que hayas hecho esto, puedes caracterizar fácilmente los tipos de caras que tiene dicho poliedro, y su relación entre sí.
También debo mencionar que tal poliedro no es único en el sentido de que existen más de un grafo planar de este tipo; sin embargo, el número de caras es necesariamente el mismo en todos los casos.
Cabe destacar que cada vértice debe tener al menos 3 aristas conectadas a él en el caso de un poliedro. Por lo tanto, un buen método para el ejercicio es conectar primero los vértices que tienen menos de 3 aristas, y luego simplemente gastar las aristas restantes conectando vértices arbitrarios.
Esto es para abordar la parte de la pregunta "cómo se vería la forma". Si uno solo quiere saber el número de caras de tal forma, mire la respuesta de JimmyK4542 en su lugar.
Resulta que hay muchos poliedros con $11$ vértices y $17$ aristas. ¡Incluso cuando limitamos a poliedros convexos, ¡hay $38$ opciones topológicamente distintas! La clave del conteo comienza desde la siguiente pequeña observación:
$$2 \times 17 - 3\times 11 = 1\tag{*1}$$
La forma tiene $17$ aristas. Dado que cada arista contribuye con $2$ puntos finales, hay $34$ puntos finales. Dado que el grado de cualquier vértice es al menos $3$, cualquier forma con $11$ vértices tiene al menos $33$ puntos finales. $(*1)$ implica que entre los $11$ vértices, uno de ellos es distinguido y tiene un grado de $4$ mientras que los otros $10$ vértices tienen un grado de $3$.
Si eliminamos el vértice distinguido y las 4 aristas/4 caras adjuntas a él, el límite de lo que queda en la superficie será un círculo. Puedes pensarlo como un grafo cíclico con $4$ vértices.
Para generar una lista de formas posibles, podemos comenzar agregando vértices de grado $3$ a este grafo cíclico. Cuando agregamos un vértice a este grafo cíclico, cada uno contribuirá con un punto final libre. Podemos unir los puntos finales libres de dos vértices en el grafo cíclico. También podemos agregar algunos vértices "externos" para tratar con los puntos finales colgantes.
Resulta que no todos los grafos construidos de esta manera corresponden a un poliedro convexo.
Para filtrar los grafos que lo hacen, necesitamos dos conceptos:
En términos de estos conceptos, podemos usar el siguiente teorema para filtrar los grafos:
Teorema de Steinitz - El grafo de aristas de cualquier poliedro convexo es un grafo simple planar 3-conectado. Cada grafo simple planar de 3-conectado puede ser realizado como el grafo de aristas de un poliedro convexo.
Después de la filtración, quedan $38$ grafos. A continuación se muestra una imagen que muestra el $1$-esqueleto de las formas posibles después de que se eliminó el vértice distinguido y las $4$ aristas adjuntas a él.
Estas $38$ opciones se dividen en $4$ grupos según el número de vértices $N_i$ agregados al grafo cíclico ancestral.
$$\begin{array}{rr} \verb/top-left/ & 10 \text{ formas para } N_i = 6\\ \verb/bottom-left/ & 13 \text{ formas para } N_i = 5\\ \verb/top-right/ & 12 \text{ formas para } N_i = 4\\ \verb/bottom-right/ & 3 \text{ formas para } N_i = 3 \end{array}$$
Dado cualquiera de estos $38$ grafos, uno puede usarlo para construir el poliedro convexo correspondiente. De los pocos grafos con los que he jugado, se puede comenzar con una pirámide cuadrada, dibujar unas pautas en la base cuadrada según el grafo. "cortar" algunos vértices o "alisar" algunos bordes según las pautas.
Veamos algunos ejemplos.
En el grafo $1a$, nos dice primero "cortar" un vértice en la base y luego "alisar" uno de los bordes generados dos veces. Esto es lo que obtienes. 
En el grafo $1b$, nos dice que elijamos un par de bordes opuestos de la base, "alisar" uno de ellos una vez y el otro dos veces. Lo que obtienes es algo completamente diferente al primer ejemplo.
Entre los grafos restantes, hay otras formas interesantes. Solo dejaré su visualización para aquellos a quienes les gusta ejercitar su imaginación.
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Supongo que parte de la pregunta es o bien encontrar los polígonos tú mismo, o más probablemente razonar sin conocer la configuración exacta de los polígonos.