En mi prueba de matemáticas me preguntaron cuantos polígonos se necesitan para crear un poliedro que tenga 11 vértices y 17 aristas. Me gustaría ver cómo se vería la forma y puedo averiguar la parte del polígono por mi cuenta.
Pista: La Fórmula de Euler establece que si un politopo tiene $V$ vértices, $E$ aristas y $F$ caras, entonces $V-E+F = 2$. Esto te dice cuántas caras tiene el politopo.
Ok ... imagina un prisma pentagonal. Ahora quita una de las caras laterales (rectangulares) y crea un vértice en el medio de cada una de los bordes laterales junto a ese espacio. Ahora junta esos dos nuevos vértices, extendiendo las caras laterales también en pentágonos. Finalmente llena el espacio arriba y abajo del nuevo vértice con dos triángulos.
En uno de esos cambios clásicos de percepción, Henry reconoció que básicamente la misma forma que se muestra en mi imagen de arriba también se podría lograr a partir de un cubo con dos esquinas adyacentes cortadas para reducir un borde del cubo a un único vértice restante.
Quizás más rápido para la misma forma de objeto: tomar un cubo (8 vértices, 12 aristas), elegir el punto medio de una arista y desde allí cortar las esquinas tetraédricas en esa arista (añadiendo 5 vértices y 6 nuevas aristas pero perdiendo 1 arista existente).
Otra pista: un poliedro es un grafo plano, así que dibuja 11 vértices en algún arreglo, e intenta dibujar 17 líneas no intersectadas uniendo estos vértices de manera que divida el plano en $F$ regiones, donde $F$ es el valor que obtuviste de la pista de JimmyK4542. ¡Ten en cuenta que la región que comprende toda el área "fuera" del grafo cuenta como una de las caras! Una vez que hayas hecho esto, puedes caracterizar fácilmente los tipos de caras que tiene ese poliedro, y su relación entre sí.
También debo mencionar que dicho poliedro no es único en el sentido de que existen más de un grafo plano de este tipo; sin embargo, el número de caras es necesariamente el mismo en todos los casos.
Se debe tener en cuenta que cada vértice debe tener al menos 3 aristas conectadas a él en el caso de un poliedro. Por lo tanto, un buen método para el ejercicio es conectar primero los vértices que tienen menos de 3 aristas, luego simplemente gastar las aristas restantes conectando vértices arbitrarios.
Esto es para abordar la parte de la pregunta "cómo sería la forma". Si uno solo quiere saber el número de caras para tal forma, ve en cambio la respuesta de JimmyK4542.
Resulta que hay muchos poliedros con $11$ vértices y $17$ aristas. ¡Incluso cuando nos limitamos a poliedros convexos, ¡hay $38$ opciones topológicamente distintas! La clave del conteo comienza a partir de la siguiente pequeña observación:
$$2 \times 17 - 3\times 11 = 1\tag{*1}$$
La forma tiene $17$ aristas. Dado que cada arista contribuye con 2 puntos finales, hay 34 puntos finales. Dado que el grado de cualquier vértice es al menos $3$, cualquier forma con $11$ vértices tiene al menos 33 puntos finales. $(*1)$ implica que entre los $11$ vértices, uno de ellos es distinguido y tiene grado $4$ mientras que los otros $10$ vértices tienen grado $3$.
Si eliminamos el vértice distinguido y las 4 aristas/4 caras adjuntas a él, el límite de lo que queda en la superficie será un círculo. Puedes pensarlo como un grafo cíclico con $4$ vértices.
Para generar una lista de formas posibles, podemos comenzar agregando vértices de grado $3$ a este grafo cíclico. Cuando agregamos un vértice a este grafo cíclico, cada uno contribuirá con un punto final libre. Podemos unir los puntos finales libres de dos vértices en el grafo cíclico. También podemos añadir algunos vértices "externos" para lidiar con los puntos finales colgantes.
Resulta que no todos los grafos construidos de esta manera corresponden a un poliedro convexo.
Para filtrar los grafos que sí lo hacen, necesitamos dos conceptos:
En términos de estos conceptos, podemos usar el siguiente teorema para filtrar los grafos:
Teorema de Steinitz - El grafo de aristas de cualquier poliedro convexo es un grafo simple planar 3-conectado. Todo grafo simple planar 3-conectado se puede realizar como el grafo de aristas de un poliedro convexo.
Después del filtrado, quedan $38$ grafos. A continuación se muestra una imagen que muestra el $1$-esqueleto de las formas posibles después de uno remover el vértice distinguido y las $4$ aristas adjuntas a él.
Estas $38$ opciones se dividen en $4$ grupos según el número de vértices $N_i$ agregados al grafo cíclico ancestral.
$$\begin{array}{rr} \verb/top-left/ & 10 \text{ formas para } N_i = 6\\ \verb/bottom-left/ & 13 \text{ formas para } N_i = 5\\ \verb/top-right/ & 12 \text{ formas para } N_i = 4\\ \verb/bottom-right/ & 3 \text{ formas para } N_i = 3 \end{array}$$
Dado cualquiera de estos $38$ grafos, se puede utilizar para construir el poliedro convexo correspondiente. Para los pocos grafos con los que he jugado, uno puede empezar con una pirámide cuadrada, dibujar algunas líneas guía en la base cuadrada según el grafo. "cortar" algunos vértices o "suavizar" algunos bordes según las líneas guía.
Veamos algunos ejemplos.
En el grafo $1a$, nos dice que primero hay que "cortar" un vértice en la base y luego "suavizar" una de las aristas generadas dos veces. Esto es lo que obtienes. 
En el grafo $1b$, nos dice que escojamos un par de aristas opuestas de la base, "suavicemos" una de ellas una vez y la otra dos veces. Lo que obtienes es algo completamente diferente al primer ejemplo.
Entre los grafos restantes, hay otras formas interesantes. Dejaré su visualización para aquellos a quienes les gusta ejercitar su imaginación.
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Supongo que parte de la pregunta es o bien descubrir los polígonos por ti mismo, o más probablemente razonar sin conocer la configuración exacta de los polígonos.