Deje $A$ ser un rectángulo en $\mathbb{R}^2$. Supongamos $f: A \to \mathbb{R}$ está acotada. Supongamos $f(x) = 0 $, excepto en $F$ donde $F$ es cerrado y tiene medida cero.
De lo anterior se sigue que el $f$ es integrable en a$A$$\int_A f = 0 $ ?
Actualización con mis probar:
Supongamos $|f(x)| \leq M$. Desde $F$ es un sistema cerrado(por lo tanto) compacto y es de medida cero, podemos cubrir la $F$ finitos cajas, decir $R_1,...,R_n$ tal que $\sum_{i=1}^n Vol(R_i) < \frac{ \epsilon}{2M} $. Vamos a construir una partición $P$ $A$ que satisfacer $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon $, de modo que tendremos $f$ es integrable en a $A$. Podemos denotar $R_i = [a_i,b_i] \times [c_i,d_i] $ todos los $i=1,...,n$. Utilizamos todas las $a_i,b_i,c_i,d_i$ a definir una partición $P$$A$. Deje $Q$ ser arbitraria subrectangle determinado por la partición de $P$. Desde $f(x) = 0$ por cada $Q \subset A \setminus F $, sólo necesitamos que preocuparse por el $Q's$ que satisfacer $N \subset Q$. Por lo tanto
$$ U(f,P) - L(f,P) = \sum_{N \subset Q} ( \sup_{x \in Q} f - \inf_{x \in Q} f)Vol(Q) = \sum_{i=1}^n ( \sup_{x \in R_i} f - \inf_{x \in R_i} f) Vol(R_i) < 2M \frac{ \epsilon}{2M} = \epsilon $$
