Manera rápida de encontrar el número del grupo homomorphisms $\phi:{\bf Z}_3\to{\bf Z}_6$?

Question

Considere la siguiente opción múltiple problema:

Deje $H$ el conjunto de todo el grupo homomorphsims $\phi:{\bf Z}_3\to{\bf Z}_6$. Cómo muchas de las funciones no $H$ contienen?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6

Desde $1$ genera ${\bf Z}_3$, se puede analizar $\phi(1)$ caso por caso, que puede ser algo bastante mucho tiempo, para mí, al menos. Dado que esta es una de opción múltiple problema, hay alguna rápida manera de solucionarlo?

Answer 1

1. Un grupo de homomorphism con cíclico de dominio está totalmente determinado por la imagen de un generador.

2. Si $f\colon G\to H$ es un homomorphism, y $x\in G$, luego el orden de $f(x)$ debe ser un divisor del orden de $x$.

Ya que los únicos divisores de $3$$1$$3$, la respuesta es uno más el número de elementos de a $\mathbb{Z}_6$ orden $3$ ("uno más" viene de la trivial mapa). ¿Hay alguna? Sí, así que la respuesta es no A. ¿cuántos? Dos: 2 y 4. Así que la respuesta es C.

Answer 2

Acabo de enterarme de que en general existen dos teoremas acerca de esta cuestión

1. El número de grupo homomorphisms de $Z_m$ a $Z_n$$\text{gcd}(m,n)$.
2. El número de anillo homomorphisms de $Z_m$ a $Z_n$ $2^{\omega(n)-\omega(n/\text{gcd}(m,n))}$ donde $\omega(a)$ denota el número de los distintos primer divisores del número entero $a$.

a partir de un artículo en el que El Número de Homomorphisms de $Z_m$ a $Z_n$(American mathematical Monthly 91 (1984):196-197) por Gallian y Buskirk.

Answer 3

Decir $f$ ser el homomorphism y decir $f(1)=a\in \mathbb{Z}_6$

en $\mathbb{Z}_3$ tenemos $1+1+1=3=0\Rightarrow f(1+1+1)=f(0)=0\Rightarrow 3f(1)=0\Rightarrow 3a=0$ $\mathbb{Z}_6$ $a=0,2,4$

así que usted ha $3$ distintos homomorphism.

Answer 4

Orden de 1 es 3 de la orden de la imagen de 1 divide 3 y #(f(1))/6, de manera tan total opción es la 1 y la 3. Aquí hay hay dos opción de orden 3 elemento tan total 3 homomorphism.