Orientabilidad de los submanifolds

Question

Cuáles son algunas condiciones generales bajo las cuales los submanifolds de las variedades orientables serán también orientables. Por supuesto, esto no es cierto en general (por ejemplo, la banda de Möbius es una submanifolda no orientable de $\mathbb{R}^3$ ), pero ¿cuándo es verdad?

Por ejemplo, ¿qué ocurre si sólo se consideran submanifolds cerrados (es decir, compactos y sin límites, pero no topológicamente cerrados) de variedades cerradas y orientables?

EDIT: Las condiciones que he enumerado anteriormente no son suficientes. Considere $\mathbb{RP}^2\subset\mathbb{RP}^3$ Creo que

Answer 1

Una condición suficiente para $N\subset M$ para ser orientable es la siguiente:(Supongamos $M$ es orientable, $\dim M=m$ , $\dim N=n)$ :

$N$ es orientable si hay $m-n$ campos vectoriales independientes $V_{n+1} \ldots V_{m}$ a lo largo de $N$ (tangente a $M$ pero no tangente a $N$ ) tal que para cada $x\in N$ , $T_{x} N \oplus \text{span} \{ V_{n+1}(x), \ldots V_{m}(x)\}= T_{x} M$ .

La razón: Supongamos que $\Omega$ es una forma de volumen para $M$ (la orientabilidad es equivalente a la existencia de la forma de volumen). Entonces $I_{V_{n+1}} \circ I_{V_{n+2}},\circ \ldots \circ I_{V_{m}}(\Omega)$ es una forma de volumen para $N.$

Ejemplo: $S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ . El campo vectorial $V_{n+1}=\frac{\partial}{\partial r}$ es el campo vectorial radial, ortogonal a la esfera. Entonces $i_{\frac{\partial}{\partial r}} dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \ldots dx_{n}$ es la forma volumétrica intrínseca natural de la esfera.