Cómo concluir $\Re $ ¿es cero?

Question

Estoy en un espacio de Hilbert $H$ y para $z,v, h \in H$ y $t \in \mathbb C$ Tengo

$$ \|z\|^2 \leq \|h−(tv+y)\|^2 = \|z−tv\|^2 =\|z\|^2 −2\Re(t⟨v,z⟩)+|t|^2\|v\|^2$$

Según mis notas se deduce de esto que $\Re(t⟨v,z⟩) = 0$ para todos $t$ . ¿Cómo se entiende eso? No consigo mostrarlo. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Conseguimos que para todos $t\in\Bbb C$ , $$2\Re(t\langle v,z\rangle)\leq |t|^2\lVert v\rVert^2.$$ Para un número entero $n$ , sustituyendo a $t$ por $\frac tn$ obtenemos: $$\frac 2n\Re(t\langle v,z\rangle)\leq \frac 1{n^2}|t|^2\lVert v\rVert^2,$$ por lo que $$2\Re(t\langle v,z\rangle)\leq \frac 1n|t|^2\lVert v\rVert^2.$$ Dejar $n\to +\infty$ mostramos el resultado.