Si $x$ es un número irracional y $r$ es un número racional, entonces $xr$ es un número irracional.
Prueba. Supongamos que $xr$ es un número racional. Por la definición de un número racional $xr= m/n$ donde $m,n$ son algunos enteros...
Eso es todo lo que tengo hasta ahora ya que este tema me confunde mucho. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?
Esto es falso porque si se toma $x = \sqrt{2}$ y $r = 0$ , $$ x \cdot r = \sqrt{2} \cdot 0 = 0, $$ que es racional, no irracional.
Sin embargo, supongamos que $r \ne 0$ . Supongamos entonces, para evitar una contradicción, que $x$ es irracional y $r$ es racional, pero $rx$ no es irracional, es decir $rx$ es racional. Entonces escribe $rx = s$ , donde $s$ es racional. Desde $\boldsymbol{r \ne 0}$ , esto implica $x = \frac{s}{r}$ Lo cual es una contradicción porque...
¿Podría verse esto como otra razón de por qué los racionales NO son un ideal de los reales? Aunque tenemos que los reales son un campo por lo tanto los únicos ideales son sí mismo y el ideal trivial pero es esta otra manera de ver por qué $\Bbb{Q}$ no es un ideal de $\Bbb{R}$ ?
$\pi$ es irracional y $\dfrac{10}\pi$ es irracional, pero su producto es racional. En otras palabras, tienes razón en que no es fácil demostrar que el producto de dos números irracionales es racional.
Prueba $\pi$ es irracional no es tan fácil: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
Sin embargo, si $\dfrac{10}\pi$ es racional, entonces $\dfrac{10}\pi$ es $\dfrac n m$ para algunos enteros $n$ y $m$ Así que $\pi = \frac{10m} n$ un número racional. Por lo tanto, si $\pi$ es irracional, entonces $\dfrac{10} \pi\vphantom{\dfrac{\displaystyle\sum}\sum}$ también debe ser irracional.
PS: Parece que respondo a la pregunta equivocada. La pregunta era sobre el producto de un número irracional y un número racional.
Diga $x$ es irracional y $r$ es racional. Supongamos que $xr$ es racional. Entonces para algunos enteros $a,b,c,d$ tenemos $$ x r = x \frac a b = \frac c d. $$ En consecuencia, $$ x = \frac {cb}{da}, $$ y por lo tanto $x$ es racional.
r es racional por lo que r = a/b para algunos enteros a y b y se supone que r no es igual a cero. (Si r es cero xr es cero y por lo tanto racional)
Supongamos que $xr$ es racional y por lo tanto $xr = m/n$ para unos números enteros m y n
dividamos $xr$ por $r$ es decir, $xr/r = (m/n)/(a/b)$ así que $x = mb/na$
y $x$ sería racional, lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, la afirmación "racional r por irracional x es irracional" es verdadera si r no es igual a cero
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Probablemente puedas utilizar el hecho de que el producto de números racionales es todavía un número racional. ¿Ves cómo esto ayuda?
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En primer lugar, la afirmación tal y como está planteada es falsa. ¿Se le ocurre un contraejemplo? Con un pequeño ajuste la afirmación puede ser remendada, y la contradicción es el camino a seguir. Empiece por utilizar la definición de número racional