$\pi$ es irracional y $\dfrac{10}\pi$ es irracional, pero su producto es racional. En otras palabras, tienes razón en que no es fácil demostrar que el producto de dos números irracionales es racional.
Prueba $\pi$ es irracional no es tan fácil: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
Sin embargo, si $\dfrac{10}\pi$ es racional, entonces $\dfrac{10}\pi$ es $\dfrac n m$ para algunos enteros $n$ y $m$ Así que $\pi = \frac{10m} n$ un número racional. Por lo tanto, si $\pi$ es irracional, entonces $\dfrac{10} \pi\vphantom{\dfrac{\displaystyle\sum}\sum}$ también debe ser irracional.
PS: Parece que respondo a la pregunta equivocada. La pregunta era sobre el producto de un número irracional y un número racional.
Diga $x$ es irracional y $r$ es racional. Supongamos que $xr$ es racional. Entonces para algunos enteros $a,b,c,d$ tenemos $$ x r = x \frac a b = \frac c d. $$ En consecuencia, $$ x = \frac {cb}{da}, $$ y por lo tanto $x$ es racional.
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Probablemente puedas utilizar el hecho de que el producto de números racionales es todavía un número racional. ¿Ves cómo esto ayuda?
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En primer lugar, la afirmación tal y como está planteada es falsa. ¿Se le ocurre un contraejemplo? Con un pequeño ajuste la afirmación puede ser remendada, y la contradicción es el camino a seguir. Empiece por utilizar la definición de número racional