Demuestra que el producto de un número irracional por un número racional es irracional.

Question

Si $x$ es un número irracional y $r$ es un número racional, entonces $xr$ es un número irracional.

Prueba. Supongamos que $xr$ es un número racional. Por la definición de un número racional $xr= m/n$ donde $m,n$ son algunos enteros...

Eso es todo lo que tengo hasta ahora ya que este tema me confunde mucho. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Esto es falso porque si se toma $x = \sqrt{2}$ y $r = 0$ , $$x \cdot r = \sqrt{2} \cdot 0 = 0,$$ que es racional, no irracional.

Sin embargo, supongamos que $r \ne 0$ . Supongamos entonces, para evitar una contradicción, que $x$ es irracional y $r$ es racional, pero $rx$ no es irracional, es decir $rx$ es racional. Entonces escribe $rx = s$ , donde $s$ es racional. Desde $\boldsymbol{r \ne 0}$ , esto implica $x = \frac{s}{r}$ Lo cual es una contradicción porque...

Answer 2

$\pi$ es irracional y $\dfrac{10}\pi$ es irracional, pero su producto es racional. En otras palabras, tienes razón en que no es fácil demostrar que el producto de dos números irracionales es racional.

Prueba $\pi$ es irracional no es tan fácil: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Sin embargo, si $\dfrac{10}\pi$ es racional, entonces $\dfrac{10}\pi$ es $\dfrac n m$ para algunos enteros $n$ y $m$ Así que $\pi = \frac{10m} n$ un número racional. Por lo tanto, si $\pi$ es irracional, entonces $\dfrac{10} \pi\vphantom{\dfrac{\displaystyle\sum}\sum}$ también debe ser irracional.

PS: Parece que respondo a la pregunta equivocada. La pregunta era sobre el producto de un número irracional y un número racional.

Diga $x$ es irracional y $r$ es racional. Supongamos que $xr$ es racional. Entonces para algunos enteros $a,b,c,d$ tenemos $$x r = x \frac a b = \frac c d.$$ En consecuencia, $$x = \frac {cb}{da},$$ y por lo tanto $x$ es racional.

Answer 3

r es racional por lo que r = a/b para algunos enteros a y b y se supone que r no es igual a cero. (Si r es cero xr es cero y por lo tanto racional)

Supongamos que $xr$ es racional y por lo tanto $xr = m/n$ para unos números enteros m y n

dividamos $xr$ por $r$ es decir, $xr/r = (m/n)/(a/b)$ así que $x = mb/na$

y $x$ sería racional, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, la afirmación "racional r por irracional x es irracional" es verdadera si r no es igual a cero