4 votos

Demuestra que el producto de un número irracional por un número racional es irracional.

Si $x$ es un número irracional y $r$ es un número racional, entonces $xr$ es un número irracional.

Prueba. Supongamos que $xr$ es un número racional. Por la definición de un número racional $xr= m/n$ donde $m,n$ son algunos enteros...

Eso es todo lo que tengo hasta ahora ya que este tema me confunde mucho. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

1 votos

Probablemente puedas utilizar el hecho de que el producto de números racionales es todavía un número racional. ¿Ves cómo esto ayuda?

5 votos

En primer lugar, la afirmación tal y como está planteada es falsa. ¿Se le ocurre un contraejemplo? Con un pequeño ajuste la afirmación puede ser remendada, y la contradicción es el camino a seguir. Empiece por utilizar la definición de número racional

6voto

6005 Puntos 19982

Esto es falso porque si se toma $x = \sqrt{2}$ y $r = 0$ , $$ x \cdot r = \sqrt{2} \cdot 0 = 0, $$ que es racional, no irracional.

Sin embargo, supongamos que $r \ne 0$ . Supongamos entonces, para evitar una contradicción, que $x$ es irracional y $r$ es racional, pero $rx$ no es irracional, es decir $rx$ es racional. Entonces escribe $rx = s$ , donde $s$ es racional. Desde $\boldsymbol{r \ne 0}$ , esto implica $x = \frac{s}{r}$ Lo cual es una contradicción porque...

0 votos

¿Podría verse esto como otra razón de por qué los racionales NO son un ideal de los reales? Aunque tenemos que los reales son un campo por lo tanto los únicos ideales son sí mismo y el ideal trivial pero es esta otra manera de ver por qué $\Bbb{Q}$ no es un ideal de $\Bbb{R}$ ?

0 votos

@MisMatemáticasTusMatemáticas Claro que sí: el hecho de que el producto de un número irracional y un número racional distinto de cero sea irracional es una forma de ver por qué $\mathbb{Q}$ no es un ideal de $\mathbb{R}$ .

0voto

Michael Hardy Puntos 128804

$\pi$ es irracional y $\dfrac{10}\pi$ es irracional, pero su producto es racional. En otras palabras, tienes razón en que no es fácil demostrar que el producto de dos números irracionales es racional.

Prueba $\pi$ es irracional no es tan fácil: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Sin embargo, si $\dfrac{10}\pi$ es racional, entonces $\dfrac{10}\pi$ es $\dfrac n m$ para algunos enteros $n$ y $m$ Así que $\pi = \frac{10m} n$ un número racional. Por lo tanto, si $\pi$ es irracional, entonces $\dfrac{10} \pi\vphantom{\dfrac{\displaystyle\sum}\sum}$ también debe ser irracional.

PS: Parece que respondo a la pregunta equivocada. La pregunta era sobre el producto de un número irracional y un número racional.

Diga $x$ es irracional y $r$ es racional. Supongamos que $xr$ es racional. Entonces para algunos enteros $a,b,c,d$ tenemos $$ x r = x \frac a b = \frac c d. $$ En consecuencia, $$ x = \frac {cb}{da}, $$ y por lo tanto $x$ es racional.

2 votos

Parece que respondo a la pregunta equivocada. Voy a editar más.

0voto

Astra Bear Puntos 101

r es racional por lo que r = a/b para algunos enteros a y b y se supone que r no es igual a cero. (Si r es cero xr es cero y por lo tanto racional)

Supongamos que $xr$ es racional y por lo tanto $xr = m/n$ para unos números enteros m y n

dividamos $xr$ por $r$ es decir, $xr/r = (m/n)/(a/b)$ así que $x = mb/na$

y $x$ sería racional, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, la afirmación "racional r por irracional x es irracional" es verdadera si r no es igual a cero

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X