Encontrar una función dominante

Question

Me ha pedido encontrar una función dominante para la siguiente secuencia de funciones: $$f_{n}(x)=\frac{x n^{3/2}}{1+n^{2}x^{2}}, x\in[0,1]$ $ para poder usar el teorema de convergencia dominada.

He intentado pero no puedo encontrar una función dominante (conseguir que $f_{n}(x)\leq \frac{1}{x}$, pero este no es Lebesgue integrable)

Answer 1

La función $g(x) = \frac{x^{3/2}}{1+x^2}$ tiene un máximo para el valor máximo $x=\sqrt{3}$ $\frac{3^{3/4}}{4}

$$f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} g(nx)

y $\frac{1}{\sqrt{x}}$ [es Lebesgue integrable en $(0,1]$](http://math.stackexchange.com/questions/227758/finding-lebesgue-integral-of-frac1-sqrtx-over-0-1).

Answer 2

Sea $f_n(x)$ la secuencia $f_n(x)=\frac{n^{3/2}x}{1+n^2x^2}$. Entonces, el % de derivados $\frac{df_n(x)}{dn}$está dada por

$$\frac{df_n(x)}{dn}=\frac{n^{1/2}x}{2(1+n^2x^2)^2} (3-n^2x^2)\tag 1$$

De $(1)$, vemos que el $\frac{df_n(x)}{dn}=0$ $nx=\sqrt{3}$, $\frac{df_n(x)}{dn} >0$ $nx\sqrt{3}$. Por lo tanto, $f_n(x)$ tiene un valor máximo en $nx=\sqrt{3}$.

Ahora, en $nx=\sqrt{3}$, $f_n(x)=\frac{3^{3/4}}{4\sqrt{x}}$ %. Por lo tanto, la secuencia $f_n(x)$ satisface la desigualdad

$$f_n(x)\le \frac{3^{3/4}}{4\sqrt{x}} $$

Puesto que tenemos

$$\int_0^1 \frac{3^{3/4}}{4\sqrt{x}}\,dx=\frac{3^{3/4}}{2}

entonces por el teorema de convergencia dominada

$$\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx=\int0^1 \lim{n\to \infty} f_n(x)\,dx=0$$