Mostrando la existencia de una extensión de campo de grado $n$ para un campo finito $F$

Question

EDIT: Acabo de mencionar que esta es una tarea que se trate.

Esta es mi primera vez de publicar una pregunta en matemáticas.stackexchange, así que espero que la encuentren en su corazón para perdonar a cualquiera estilísticos o de la regla de transgresiones puedo hacer. He buscado a través de algunos de los temas similares que surgieron, pero nada contestado a mi pregunta.

El problema es, como sugiere el título: dado un campo finito $F$ y algunos $n > 0$, mostrar que tiene un campo finito de extensión de grado $n$.

Mi intento de solución es la siguiente:

Deje $|F| = p^{m}$.

Considere la posibilidad de la división de campo de la $x^{p^{mn}}-x$ más de los enteros modulo $p$ para algunos prime $p$; llamarlo $G$. Este es un campo finito de orden $p^{mn}$. A continuación, contiene un subcampo de tamaño $p^{m}$, decir $G'$. Este es isomorfo a $F$. Sin embargo, estoy bastante seguro de $G$ no constituyen una extensión de $F$.

He tratado de construir un campo de extensión de $F$ isomorfo a $G$ teniendo en cuenta la imagen de un mapa de $\varphi: G \rightarrow Im(\varphi)$ tal que $\varphi$ restringido a G' es el isomorfismo de$G$$F$, pero me golpeó la pared en la que muestra que era un isomorfismo (brevemente, considero que un n-base para $G$ y trató de definir en consecuencia, pero no fue capaz de completar porque yo no podía probar bijectivity).

Si no es demasiada molestia, me gustaría simplemente prefieren una pequeña sugerencia que me empuja en una dirección prometedora.

Gracias!

Answer 1

¿Por qué crees $\,G\,$ no constituyen una extensión de su original $\,F\,$? Porque lo que realmente es, o tal vez más formalmente: $\,G\,$ es un espacio vectorial de dimensión $\,mn\,$ sobre el primer campo de la característica $\,p\,\,,\,\Bbb F_p\,$ , e $\,F\,$ es un espacio lineal de dimensión $\,m\,$ sobre el mismo primer subcampo.

Deje $K\leq G\,$ ser un subcampo de la dimensión$\,m\,$$\,\Bbb F_p\,$ . Pero no es difícil mostrar tanto $\,H\,\,,\,F$ son la división de los campos de más de $\,\Bbb F_p\,$ del mismo polinomio, es decir, $\,x^{p^m}-x\in\Bbb F_p[x]\,$ y, por lo tanto, son isomorfos como campos, no sólo como espacios vectoriales de la misma dimensión en el mismo campo.

Nosotros, de hecho, acabamos de pasar por encima de más de una de las pruebas (o de la prueba) de que sólo hay un campo finito dado cardinalidad u[p a isomorfismo.

Bien, aquí su extensión de $\,F\,$...que, de hecho, le hizo encontrar.

Añadido: yo no podía ver cómo darle "un toque" como el OP ya resuelto el problema. Lo que falta es llegar a él/ella convencida de que ella/él hizo realmente resolver el problema y, con suerte, el de arriba va a ayudar.