Asintóticas de$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(t)$ cuando$t\to\infty$, donde$a_1(t)=t$ y$a_{n+1}(t)=a_n(t)-1+e^{-a_n(t)}$

Question

Deje$\left\{a_n\right\}_{n\ge1}$ denotar la secuencia de funciones de$\mathbb{R}^+$ a$\mathbb{R}$ definido, para cada$t>0$, por$a_1(t)=t$ y, para cada$n\ge1$,$$a_{n+1}(t)=a_n(t)-1+e^{-a_n(t)}.$$ Let $ g (t) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n (t) $. Encuentra$$\lim\limits_{t\to\infty}\ \left|g(t)-\tfrac{t(t+1)}{2}\right|.$ $

Lo que probé:

Para cada$t>0$,$\left\{a_n(t)\right\}_{n\ge1}$ es una secuencia decreciente. Y$a_{n+1}(t) = t-n+\sum\limits_{k=1}^{n}e^{-a_k(t)}<t$.

A partir de ahí no tengo idea.

Answer 1

Esta no es una solución. Me estoy dando una plausibilidad argumento para demostrar que el límite es de la forma $\dfrac{e}{(e-1)^2} + \delta$ donde $\delta$ es "pequeño" (pero, por desgracia, no demasiado pequeño).

Nota si $a_k(t) > 0$, $a_k(t) - a_{k+1}(t) = 1 - \exp(-a_k(t)) > 0$ además desde $e^x > 1 + x $ $ x \neq 0$ también contamos $a_{k+1} > 0.$ Esto implica $a_n(t)$ es estrictamente una disminución de secuencia positiva que converge a $a(t)$ donde $a(t) = a(t) - 1 + e^{-a(t)}$ $a(t) = 0.$

También,$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}(t)}{a^2_n(t)} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n(t) - 1 + \exp(-a_n(t))}{a_n^2(t)} = \dfrac{1}{2}.$ Esto sugiere $a_n(t)$ converge a $0$ rápidamente.

Permite analizar $(a_n(k))$ (señalados a continuación como $(a_n)$ por simplicidad) donde $k$ es de un gran número entero positivo. Por lo tanto tenemos: $$ \begin{align} a_1 &= k, \\ a_2 &= k - 1 + e^{-k},\\ a_3 &= k - 2 + e^{-k} + e^{-((k - 1) + e^{-k})}\\ &= k - 2 + e^{-k} + e^{-(k-1)} + e^{-(k-1)}({e^{-e^{-k}} - 1})\\ &\approx k - 2 + e^{-k} + e^{-(k-1)},\\ a_4 &\approx k - 3 + e^{-k} + e^{-(k-1)} + e^{-(k-2)},\\ \end{align} $$

Suponiendo que la aproximación a continuar, y suponiendo que los términos de $a_{k+2},\dots$ hacer su pequeña contribución a la suma, se tiene la siguiente aproximación a la suma: $$ \begin{align} a_1 + a_2 + \dots + a_{k+1} &\approx k + (k-1) + \dots + 0 + ke^{-k} + (k-1)e^{-(k-1)} + \dots e^{-1}\\ & \approx \dfrac{k(k+1)}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} k e^{-k}\\ & \approx \dfrac{k(k+1)}{2} + \dfrac{e}{(e-1)^2} = \dfrac{k(k+1)}{2} + .92067359420779231894. \end{align} $$

Lo anterior proporciona una aproximación del límite de $.92067359420779231894$. Uso de la multi-precisión de la calculadora bc tengo una estimación de la verdadera límite de $.941282470970473$, por lo que la anterior aproximación está dentro del 2%.