Demostrar que $<$ definido anteriormente en $\hat f$ es un bien pedidos de orden tipo $\epsilon_{0}$

Question

Si $f,g:\Bbb R \to \Bbb R$ definir $f<g \iff \exists M:\forall x>M$, $f(x)<g(x)$ [¿Significa esto que la $g$ domina $f$].

Ahora defina $\hat f$ a ser el más pequeño de un conjunto de funciones que contiene a $\Bbb N[x]$ y cerrado bajo la operación $f\mapsto x^{f}$ $(f,g)\mapsto f+g$

[e,g $x^{x^{3x+2}+5x^{x}}+2x+4\in \hat f$, pero $(x+1)^{x} \notin \hat f$] Quiero demostrar que la $<$ definido anteriormente en $\hat f$ es un buen orden de pedido tipo de $\epsilon_0$.

Mi intento:

Recordemos que un conjunto $x$ está bien oredered por $<$ si $x$ es linealmente ordenado por $<$ y tiene la propiedad si $A\subseteq X$ no - vacío, a continuación, $A$ contiene al menos un elemento de i,e $\exists x \in A : x\le a ,\forall a \in A$.

Necesito mostrar que $(\hat f,<)\cong (\epsilon_{0},<)$ a asegurar que se trata de un ordenamiento de tipo $\epsilon_0$ que es necesito encontrar un Bijection?

Answer 1

Si $\hat{f}$ también es estable en suma, podría intentar probar que la forma recursiva del mapa definido en $\varepsilon0$ $\varphi(0) = 0$ $\varphi(\sum \limits{k=0}^p \omega^{\alpha_k}.nk) := \sum \limits{k=0}^p x^{\varphi(\alpha_k)}.n_k$ es un isomorfismo.

La mejor manera de hacerlo es demostrarlo por inducción en el menos número entero $n_{\lambda}$ tal que $\lambda \in x_n:= \omega^{\omega^{... \omega}}$ donde $\omega$ aparece $(n+1)$-veces: demostrar que $\varphi$ está bien definido en $xn$ estrictamente creciente y que $\hat{f} = \bigcup \limits{n \in \mathbb{N}} \varphi(x_n)$.