$f_n(x_n) \rightarrow f(x) $ por convergencia uniforme

Question

Estoy muy cerca de hacer con este problema, pero tengo una preocupación que debe haber alguien que me ayude a aliviar.

Supongamos $f_n\rightarrow f$ uniformemente, $f_n$ son continuos, y $x_n\rightarrow x$. Demostrar que $$\lim_{n\to \infty} f_n(x_n) =f(x) .$$

Queremos aprovechar $$|f_n(x_n) - f(x) |\leq |f_n(x_n) - f_n(x) |+|f_n(x) - f(x) |.$$ En primer lugar, me deje $N$ ser un número para que $n\geq N$ implícitas que $|f_n(x) - f(x) |< \epsilon /2$ cualquier $x$. Ahora, desde la $f_n$ es continua, $\lim_{m\to\infty} f_n(x_m) =f_n(x) $, podemos tomar $|f_n(x_m) - f_n(x) |<\epsilon /2$ $m$ mayor que en el $M$. Pero, ¿se puede tomar una $|f_n(x_n) - f_n(x) |<\epsilon /2$? Tal vez no, si $n<M$. Podríamos insistir en que esto no es cierto, y tome $n$ mayor que $M$ por WLOG dejando $N$ más grandes. Pero dado que hemos definido la $M$ en el contexto de un determinado $f_n$, ahora $M$ podría ser diferente, así que estamos entrando en un círculo. ¿Cómo puedo solucionar este problema?

Answer 1

Voy a dar una prueba utilizando una versión ligeramente diferente de la desigualdad de triángulo que no sea el del OP es decir,

$$|f_n(x_n) - f(x)| \leq |f_n(x_n) - f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)|$$

Comenzamos por la fijación de $\epsilon > 0$. A partir de la definición de convergencia uniforme existe una $N$ s.t. si $n>N$ el primer término es menos de $\epsilon / 2$.

La convergencia uniforme de $f_n\to f$ y el hecho de que $f_n$ es continua, se sigue que $f$ es continua. Esto implica que existe una $\delta>0$ s.t. si $|x-x_n|<\delta$$|f(x_n) - f(x)| < \epsilon/2$. Por último, desde $x_n\to x$ existe una $M$ s.t. si $n>M$ tenemos $|x-x_n| < \delta$.

Poniendo todo togeather nos encontramos con que si $n>\text{max}(N,M)$

$$|f_n(x_n) - f(x)| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$$