Un conjunto se define como una colección de objetos distintos.
¿Por qué hemos definido un conjunto para contener solo objetos distintos? ¿Por qué una colección de objetos que pueden tener objetos idénticos no se llama conjunto ? ¿Cuál es el beneficio de definir un conjunto, especialmente la forma en que es?
En conjunto formal de la teoría, lo más cercano a una definición de un "conjunto" es "algo que todos los objetos de cualquiera pertenece o no pertenece a" -- en otras palabras, si usted tiene cualquier objeto, usted puede pedir al establecer si la cosa que tiene en su mano es uno de sus miembros o no, y va a contestar si o no. Y se le dará la misma respuesta cada vez que preguntar sobre el mismo objeto.
No se que esta descripción no hablar abiertamente acerca de los "distintos" objetos -, simplemente no hay manera de que un conjunto de reclamar para contener algún objeto "más de una vez" o "sólo una vez". Todo lo que podemos hacer con ella es preguntar si algo es o no, y obtener una respuesta de sí o no.
Si te encuentras en una situación donde usted necesita para razonar acerca de las colecciones que pueden contener el mismo objeto más de una vez, y a veces nos encontramos a nosotros mismos en tal situación, usted es libre de hacer eso. Tales colecciones se conoce generalmente como multisets, y que necesitan un poco diferente formalización de conjuntos, pero no hay nada malo acerca de ellos.
Todo depende de lo que usted necesita, y las palabras sólo sirven para comunicar que los conceptos que se están trabajando en el momento. Si usted está hablando acerca de las cosas que dar una respuesta de sí o no a "hacer de contener esto?", usted dice "set". Si usted está hablando acerca de las cosas que dar una respuesta numérica a "¿cuántos de esto qué?", usted dice "conjunto múltiple".
La nomenclatura refleja que , en la práctica, los conjuntos de llegar a ser lo que usted necesita bastante más a menudo de lo que multisets. Pero no deje que eso le impida el uso de multisets cuando ellos son lo que usted necesita.
En matemáticas definiciones y axiomas), son los intentos de formalizar algunas nociones informales.
Conjuntos vienen a formalizar la noción de una "colección", así que podemos hablar matemáticamente sobre colecciones de objetos. La colección hace una distinción entre dos cosas que no son iguales, pero eso es todo. Así que si abro mi billetera, y mira mis monedas, mientras que yo podría tener dos monedas del mismo valor, no son la misma moneda.
¿Por qué esta idea y no la idea de un conjunto múltiple, donde también nos interesamos en la repetición? Porque queremos algo desnudo, con menos estructura como sea posible. Siempre se puede añadir estructura a cosas que no tienen nada, pero que no se puede quitar de la estructura de su atómica noción. (Por ejemplo, un campo es un anillo, es un abelian grupo, es un grupo, es un conjunto. Pero si los objetos más básicos en su mundo es un campo, no se puede quitar desde la estructura más.)
En términos modernos, los conjuntos son objetos de un universo de la teoría de conjuntos. Puede sonar a circular, pero sólo en el nivel del lenguaje natural, donde he utilizado el término "teoría de conjuntos" para definir "set". Donde la teoría de conjuntos es informal, pero bien entendido plazo de teorías cuya preocupación es la formalización de la noción de conjunto en un objeto matemático.
Y ¿por qué queremos estar con el lo menos posible la estructura? Porque el uso de los axiomas de la teoría de conjuntos, podemos demostrar que podemos dotar con casi cualquier estructura que queremos (bueno, hasta una cierta limitación, pero sin duda nos puede dotar a la estructura de un conjunto múltiple).
Supongo que también se debe a razones históricas y por el gran esfuerzo para poner matemáticas en tierra firme y superar la base de la crisis de las matemáticas debido a la paradoxon de Bertrand Russel y otros paradoxa. Zermelo Fraenkel ha colocado el axioma de extensionality (en alemán: Axioma der Bestimmtheit) indica dos conjuntos son iguales si y sólo si contienen los mismos elementos en el comienzo de sus axiomas en 1908 (normalmente numerado como Zf1). Este axioma implica, que $\{x, x\}=\{x\}$ y es una declaración de que el estándar de conexión entre el conjunto de la igualdad y de pertenencia.
Ya que el objetivo era encontrar los axiomas donde la coherencia se pudo comprobar, sin duda, la establece como la base de objetos tenían que ser definida tan simple como sea posible.
Por otro lado multisets, de forma intuitiva de conjuntos con elementos repetidos, posteriormente, se introdujeron como natural de los objetos matemáticos y son muy utilizados por ejemplo, en la combinatoria. Pero no se utilizan para construir la base de las matemáticas, al menos no en el estándar de la teoría de conjuntos.
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