¿Qué es la realización del tipo bosón?

Question

He visto varios contextos la expresión "realización tipo boson", por ejemplo en el estudio del crecimiento de álgebras y realización de álgebras afín.

¿Ser o no ser un tipo de bosón de realización es una propiedad que merecen revisarse haciendo qué?

¿Qué es una buena referencia básica para el boson de nomenclaturas, fermión y así sucesivamente?

Answer 1

Basado en un muy somero examen de un documento que se utiliza este término, aquí está mi suposición.

Deje $V$ ser un espacio vectorial. El álgebra simétrica $S(V)$ $V$ es una versión simple de lo que en física se llama bosonic espacio de Fock, y el exterior de álgebra $\Lambda(V)$ $V$ es una versión simple de lo que en física se llama fermionic espacio de Fock. Los nombres provienen del hecho de que si $V$ es el espacio de Hilbert de los estados de una partícula, entonces (una adecuada finalización de) $S(V)$ es el espacio de Hilbert de los estados de un número arbitrario de copias de la partícula si la partícula es un bosón, y una adecuada finalización de) $\Lambda(V)$ es el espacio de Hilbert de los estados de un número arbitrario de copias de la partícula si la partícula es un fermión.

Deje $V$ $n$- dimensiones con base $x_1, ... x_n$. Luego bosonic Fock espacio puede ser identificado con el polinomio de álgebra $\mathbb{C}[x_1, ... x_n]$, y, a continuación, el álgebra de Weyl $\mathbb{C}[x_1, ... x_n, \frac{\partial}{\partial x_1}, ... \frac{\partial}{\partial x_n}]$ del polinomio operadores diferenciales en $n$ variables de forma natural actúa sobre él. Esta acción está estrechamente relacionado con la creación y aniquilación de los operadores que crean o aniquilar copias de partículas.

El álgebra de Weyl es en particular una Mentira álgebra bajo el colector de soporte, y $\mathbb{C}[x_1, .. x_n]$ es una representación de esta Mentira de álgebra. Por lo tanto, mi conjetura en cuanto a lo que es un "bosón de tipo de realización" de una Mentira álgebra es, es que es una representación análoga a la presente. Esta interpretación es sugerido por un par de líneas en este papel, por ejemplo, "Fock espacio de realización", "el bosón de realización de $\hat{\mathfrak{sl}}(2)$ en el espacio de Fock", "una incrustación de $\hat{\mathfrak{g}}$ en el álgebra de Weyl en infinidad de variables y, por tanto, una realización"...

Answer 2

En física de partículas, los bosones y los fermiones son clases de partículas elementales. Cada partícula elemental es un bosón o un fermión - por ejemplo, los electrones son fermiones y los fotones son bosones.

Fermiones se caracterizan por la propiedad de que sólo un fermión puede ocupar un determinado estado cuántico, mientras que muchos de los bosones pueden ocupar el mismo estado cuántico. Matemáticamente, esto significa que los fermiones se describen por medio de Fermi-Dirac estadísticas y bosones se describen por medio de Bose–Einstein estadísticas. Muchas de las propiedades físicas de estas partículas se derivan de esta diferencia esencial.

Supongo que una definición de "bosón de tipo de realización" sería una referencia a la presente diferencia matemática. Al mirar a su alrededor para una definición, me di cuenta de que este término se produce más a menudo en artículos de Ben Cox, profesor de la CofC. Me imagino que la forma más confiable para obtener una respuesta sería enviarle un correo electrónico.

Answer 3

Puedo incluir este ejemplo simplemente para ilustrar. El uso de los términos bosonic y fermionic son mucho más amplio.

En el estudio de la $N=1$ supersimetría se encuentra que el super grupo de Poincaré tiene una acción natural en lo que se conoce como $\mathbb{R}^{4|4}$ superspace. Este espacio apoya 4 desplazamientos de coordenadas y 4 anticommuting coordenadas. Para mantener manifiesto la interacción con el super grupo de Poincaré es costumbre tomar el fermionic coordenadas (que es el anticommuting) como puntos y undotted Weyl spinors o un Majorana spinor. Yo uso Weyl spinor la notación en lo que sigue. Una función de $F:\mathbb{R}^{4|4} \rightarrow \mathbb{C}_c$ que toma valores en los desplazamientos complejos supernumbers se llama superfield. Tiene un componente de campo de expansión, que se expresa como un polinomio en el anticommuting coordenadas (modulo de otras restricciones). En particular, usted puede encontrar $f,m,n,v^m,d:\mathbb{R}^{4|4} \rightarrow \mathbb{C}_c$ $\phi^{\alpha}, \bar{\chi}_{\dot{\alpha}},\bar{\lambda}_{\dot{\alpha}}, \psi^{\alpha}:\mathbb{R}^{4|4} \rightarrow \mathbb{C}_a$ donde $m$ toma en $4$ mientras que los valores de $\alpha,\dot{\alpha}$ 2 valores. Estos 16 funciones de los componentes construir el superfield $F$ a continuación: $$ F = f+ \theta \phi + \bar{\theta}\bar{\chi}+ \theta \theta m + \bar{\theta}\bar{\theta} n + \theta \sigma^{m} \bar{\theta} v^m + \theta \theta \bar{\theta}\bar{\lambda}+ \bar{\theta}\bar{\theta}\bar{\theta}\bar{\lambda}+\bar{\theta}\bar{\theta}\bar{\theta}\bar{\lambda}$$ La notación $\mathbb{C}_a$ denota anticommuting complejo supernumbers. Lo fantástico de este superfield es que los saldos de los 8 bosonic campos (toma sus valores en el grado cero de desplazamientos de los supernumbers) con 8 fermionic campos (toma sus valores en el grado 1 anticommuting supernumbers). Más restricciones en este superfield como $D_{\dot{\alpha}} \Phi = 0$ (Quirales) o $\bar{D}_{\alpha}\bar{\Phi}$ (anti Quirales) o $F = \bar{F}$ (vector superfield) está hecho de tal manera que el equilibrio entre fermiones y bosones se mantiene. Este es el contenido básico de la supersimetría, a cada bosón de un fermión es emparejado.

El enfoque que he esquema anterior fue iniciado por Wess y Zumino en 1974. Superfields simplificado la construcción de supersimétricas Lagrangians. Si usted trabaja fuera de qué significa todo esto en el nivel de los campos de componentes es realmente una hermosa construcción. El texto por Wess y Bagger o la revisión por Lykken fueron populares cuando yo estudiaba estas cosas.

(hay otras maneras de entender superfields, pero, cualquiera que sea la construcción de uno escoge habrá un $\mathbb{Z}_2$ calificación y aquí es donde los términos bosón y fermión se obtienen)