La función
ps
es la suma / producto de las funciones analíticas ($$f(x) = \frac{2 + \cos x}{3} (2π - x) + \sin x$,$\cos(x)$, lineal), pero todas sus derivadas en$\sin(x)$ son$2\pi$ ($0$).
Simplemente no entiendo por qué.
Gracias,
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Rob Dickerson
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egreg
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Set $x-2\pi=t$, lo $x=t+2\pi$ y $\cos x=\cos t$, $\sin x=\sin t$. Por lo tanto se puede considerar $$ g(t)=-\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}t\cos t+\sin t $$ y los coeficientes de Taylor en $0$ $g$ son los mismos que los coeficientes de Taylor en$2\pi$$f$. Tenemos \begin{align} g(t)&=-\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}t\left(1-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{24}t^4+o(t^4)\right)+t-\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{120}t^5+o(t^5) \\[6px] &=-\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}t+\frac{1}{6}t^3-\frac{1}{72}t^5 +t-\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{120}t^5+o(t^5) \\[6px] &=-\frac{1}{180}t^5+o(t^5) \end{align} contradiciendo su declaración.
Sin embargo, incluso si todos los derivados son cero, no habría problema: la función sería la constante cero de la función (en el círculo de convergencia de la serie de Taylor en $2\pi$).
Dado que las funciones involucradas son todo, el círculo de convergencia es el conjunto de la línea (si usted piensa real) o todo el avión (si usted piensa complejo). Por lo tanto, con el fin de comprobar que algunos de los derivados es distinto de cero en $2\pi$ usted sólo tendrá que comprobar que el $f(x)\ne0$ algunos $x$. Y $$ f(0)=\frac{2+\cos0}{3}(2\pi-0)+\sen 0=2\pi\ne0 $$
