¿Dónde están las raíces?

Question

Cada polinomio de grado $n$ $n$ raíces distintas.

Sabemos que $$e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!}$$ has no roots. What is the behaviour then of the root of $S_N = \sum_{n=0}^N\frac {z^n}{n!}$? ¿A dónde van?

Podríamos generalizar esto y pedir

Dado $f(z)$ holomorphic en algunos $\Omega$ (siéntase libre de tomar cualquier condición que usted desea en $\Omega$), ¿cuál es la relación entre la raíz de $f(z)$ y las raíces de la truncada expansión de $f(z)$?

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He visto la propuesta de duplicar y es realmente interesante, aunque yo estoy interesado en una más general resultado :-)

Answer 1

Las raíces se van a infinito. Uno puede mostrar que las raíces de $\displaystyle f(z) = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{z^k}{k!}$ tienden a una curva de $|z e^{1-z}| = 1$ si cambiar la escala por un factor de $N$.

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Por favor consulte

• MathOverflow: Raíces de truncamientos de $e^x - 1$
• De matemáticas.SE: la Aproximación de las raíces de la serie de Taylor truncada de $\exp$ por los valores de la función W de Lambert
• arXiv: la Universalidad de los ceros de azar funciones analíticas especialmente la Figura 3
• arXiv: los Ceros de las secciones de sumas exponenciales

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Incluso escribí un artículo sobre el mismo tema en las raíces de truncado coseno. [1] he Aquí un gráfico que he producido para esta ocasión, donde se puede ver el lineal hacia afuera de la deriva de las raíces.

Aquí está el numpy código que he usado para producir. Mathematica o Pari podría ser más adecuado.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize']=7,7

for N in range(10, 60, 2):
    A = 1j*np.zeros((N,N))

    t =  np.arange(N-1)
    A[t+1, t] = 1.0/(N-t)

    a = np.ones(N)
    A[np.arange(N),-1] = -a[::-1]

    z = 1/np.linalg.eig(A)[0]/np.sqrt(N)

    plt.plot(z.real, z.imag, 'b.')

Answer 2

Dado $f(z)$ holomorphic en algunos $\Omega$ (siéntase libre de tomar cualquier condición que usted desea en $\Omega$), ¿cuál es la relación entre la raíz de $f(z)$ y las raíces de la truncada expansión de $f(z)$?

Vamos

$$ f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k $$

y definir

$$ p_n(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k z^k. $$

Si $f$ tiene un cero $z_0$ de la multiplicidad $m$, a continuación, Hurwitz del teorema nos dice que $p_n$ tiene exactamente $m$ ceros cerca de $z_0$ de las grandes suficientemente $n$, y que estos a $m$ ceros convergen a$z_0$$n \to \infty$.

Por supuesto, un no-idéntico-cero de la analítica de la función sólo puede tener finitely-muchos ceros en cualquier subconjunto compacto de su dominio, por lo que estos ceros adicionales de $p_n$ $n \to \infty$ debe ser en esencia dejando el dominio de $f$.

Si $f$ no es todo, entonces es un clásico resultado de Jentzsch${}^1$ que cada punto en el círculo de convergencia de la alimentación de la serie es un punto límite de los ceros de las sumas parciales $p_n$.

En 1922, Szegő${}^2$ afilado Jentzsch del resultado de la siguiente manera:

Jentzsch-Szegő Teorema.

Deje $\Lambda \subset \mathbb N$ ser una larga tal que $$ \lim_{k \in \Lambda} |a_k|^{1/k} = 1/R > 0. $$ Si se denota el número de ceros de $p_n$$U \subset \mathbb C$$Z_n(U)$, luego $$ \lim_{n \in \Lambda} \frac{Z_n(\{z : |z| < r\})}{n} = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{n \in \Lambda} \frac{Z_n(\{z : < \arg z < b\})}{n} = \frac{b}{2\pi} $$ para cualquier $r > R$$0 < b-a < 2\pi$.

Esto básicamente dice que el cero conteo de las medidas de las sumas parciales $p_n$ convergen en la vaga de la topología de la distribución uniforme en el círculo de convergencia de la alimentación de la serie. Un moderno tratamiento de este y otros resultados se pueden encontrar en el libro de la Discrepancia de Firmado Medidas y el Polinomio de Aproximación por Andrievskii y Blatt.

Si $f$ es todo, el comportamiento de los ceros de las sumas parciales es muy diferente, como en el ejemplo con $f(z) = e^z$ ilustra. En la orden de abandonar el dominio de $f$, los ceros de $p_n$ que no convergen a los ceros de $f$ debe tender a $\infty$. La rapidez con la que viajar, y con lo de la distribución, es una pregunta complicada.

En su tesis doctoral, Rosenbloom${}^3$ mostró que estos "extraños" los ceros de $p_n$ generalmente crecen a una velocidad comparable a $|a_n|^{-1/n}$$n \to \infty$, y dio una fórmula general para sus curvas de límite (después de la ampliación). Una declaración de su principal resultado es dado en la p. 6 de mi tesis de maestría.

Todavía hay muchos problemas para explorar. Por ejemplo, podemos cuantificar cómo rápidamente la escala de ceros se acercan a su límite de la curva? Hasta el momento se ha hecho en algunos casos particulares, pero poco se ha hecho en general.

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1. Robert Jentzsch, Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen. (Alemán) Acta De Matemáticas. 41 (1916), no. 1, 219-251.

2. Gabor Szegő, Über die Nullstellen von Polynomen, die in einem Kreis gleichmässig konvergieren, Sitzungsber. Ber. De matemáticas. Ges. 21 (1922), 59-64.

3. Paul Charles Rosenbloom, En secuencias de polinomios, en especial en las secciones de alimentación de la serie, Tel. D. tesis, de la Universidad de Stanford, 1944, Resúmenes en Toro. Amer. De matemáticas. Soc. 48 (1942), 839; 49 (1943), 689.