Encontrar el número de soluciones a esta ecuación utilizando combinatoria

Question

Cuántas son las soluciones a la ecuación $$x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5=21$$ where each $$ x no es entero negativo tal que $$0\le x_1 \le3 , 1 \le x_2 \lt4\text{ and }x_3\ge15$$

Mi intento :

Así que primero considera las condiciones de $x_1\ge0 , x_2\ge1$ $x_3\ge15$

Me enteré de que el total de combinaciones posibles con esta restricción se $9\choose5$. Pero estos incluyen no se incluyen las demás restricciones a $x_1$$x_2$.

Así me enteré de las combinaciones de los casos de $x_1\ge4$$x_2\ge4$ , con una intención de restar del total de combinaciones de $9\choose 5$.

Sin embargo no estoy de acabar con la respuesta correcta de $106$.Podría usted por favor me ayudan? He utilizado la fórmula de $n-r+1\choose r$

Answer 1

El problema debe ser equivalente a $x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5=5$ $0≤x_1≤3$ y $0≤x_2

Answer 2

El número de soluciones de $$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5= 5 $ $ con el % de limitaciones $x_1\in[0,3],x_2\in[0,2]$y $x_3,x_4,x5\geq 0$ viene dado por el coeficiente de $z^5$ del producto: %#% $ #% es decir, por el coeficiente de $$ (1+z+z^2+z^3)(1+z+z^2)(1+z+z^2+\ldots)(1+z+z^2+\ldots)(1+z+z^2+\ldots)$ en la serie de Taylor alrededor de $z^5$ $z=0$ $, es decir por: $$ f(z) = \frac{(1-z^4)(1-z^3)}{(1-z)^5} = (1-z^3-z^4+z^7)\cdot\sum{n\geq 0}\binom{n+4}{4}z^n $ $