¿$f_{n}\left(x\right)=x\arctan\left(nx\right)$ Convergen uniformemente?

Question

¿$f_{n}\left(x\right)=x\arctan\left(nx\right)$ Convergen uniformemente cuando $x\in\left(0,\infty\right)$?

Sé que la función límite es $f\left(x\right)=\frac{\pi}{2}x$.

Creo convergen uniformemente pero no pude probarlo. He probado criterio de Cauchy, intenté por definición y traté de encontrar:

$\lim{n\rightarrow\infty}\sup{x>0}\left|x\arctan\left(nx\right)-\frac{\pi}{2}x\right|$

sin éxito.

Answer 1

Sugerencia Que $f_n(x)=\tan^{-1}nx$. Si $m\geq n$, entonces el $f_m(x)\geq f_n(x)$, y estas funciones son todas positivas. Demostrando que $f_n\to f$ uniforme es equivalente a mostrar $|f-f_n|\to 0$ uniformemente, así que considere las funciones $$g_n(x)=|x|\left|\frac {\pi} 2-f_n(x)\right|$$ for $x > 0$. We can see that $gn\to 0$ pointwise over $[0,\infty)$. Moreover, $g{n+1} (\leq g_n (x) $ for any $x\in x) [0,\infty) $. Now, you can split the proof in two parts. First, choose a large $M$ to make $$\left|\frac{\pi}2-f_n(x)\right|$$ small for any $x\geq M$. Then split over $[0,M]$ and $[M,\ infty)$. On $[0,M]$ use Dini's Theorem, and for $[M,\infty)$ se puede utilizar el hecho de que

$$ \frac{π} 2 - \tan^{-1}(n x)=\tan^{-1}\frac{1}{nx}=\frac{1}{nx}-\frac{1}{3n^2x^2}+O\left(\frac1{n^3x^3}\right)$$

Answer 2

Con que $\arctan x=\int0^xdt/(1+t^2)$ tenemos $x>0$ $$ \Bigl|\frac{\pi}2\,x-x\,\arctan(n\,x)\Bigr|=x\int {nx} ^ \infty\frac {dt} {1 + t ^ 2} = \frac1n(n\,x)\int_ {nx} ^ \infty\frac {dt} {1 + t ^ 2} \le\frac1n. $$ La última desigualdad es porque para cualquier $z>0$ $$ z\int_z ^ \infty\frac {dt} {1 + t ^ 2} \le z\int_z ^ \infty\frac {dt} {t ^ 2} = 1. $$