Ayudar con la evaluación de esto (probablemente telescópico) suma.

Question

Estoy tratando de resolver este problema que es con respecto a la evaluación de suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{6^{k}}{(3^{k}-2^{k})(3^{k+1}-2^{k+1})}$$

Puntos a tener en cuenta:

• Parece ser telescópica suma (muy probable) y estoy tratando de crear un sistema telescópico de la serie por que me puede directamente, entonces sustituto $k$ y resolver el problema.Para ello, yo actualmente trató de romper $\frac{6^{k}}{(3^{k}-2^{k})(3^{k+1}-2^{k+1})}$ en fracciones parciales para tratar con ellos se convierte en simple.
• Para mí el segundo problema es lidiar con la $\infty$ signo como nunca antes he tratado con una suma telescópica donde el infinito se tratara.Así que por favor explicar explicar ¿cómo puedo lidiar con eso.

Chicos tengo la solución por la rotura parcial en la fracción.¿Hay alguna otra manera también es posible para resolverlo?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Indirecta: $\dfrac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} = \dfrac{2^k}{3^k-2^k} - \dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1} - 2^{k+1}}$

Answer 2

Sugerencia:

$$\frac{ab}{\left(a-b\right)\left(3a-2b\right)}=\frac{3a}{2b-3a}-\frac{a}{b-a}$$

Answer 3

Por tu pregunta sobre el signo de % de $\infty$:

Para una secuencia se define $(ak){k \in \mathbb{N}}$ la serie $\sum_{k=0}^\infty ak$ $\lim{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k$ (si el límite existe).

Ocuparse tan sólo de $\sum_{k=0}^n a_k$ % todo $n \in \mathbb{N}$(es decir. Utilice las sugerencias de las otras preguntas y el "truco de suma de telescopio"). Entonces obtendrá una expresión que contenga algunos '$n$'-s. Finalmente calcular el límite de $n \to \infty$ de esa expresión.