Creo que lo que sigue es un hecho cierto: si $f : S^1 \to \mathbb{R}^2$ es una inmersión, existe una homotopía arbitrariamente pequeña de f a otra inmersión $g : S^1 \to \mathbb{R}^2$ tal que $g$ sólo se cruza con sí mismo finito muchas veces. Esto probablemente tiene una declaración más general con colectores arbitrarias en lugar de $S^1$ y $\mathbb{R}^2$. Ha estado buscando y no encontrar a este tipo de cosas básicas en cualquier lugar. ¿Alguien sabe donde la puedo encontrar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta es una muy buena pregunta. (Yo deseo que yo podría otorgar recompensas a las personas que hacer buenas preguntas!) Los resultados indicados a continuación son con frecuencia establecido como un hecho más avanzadas de la topología de referencias y nunca se menciona en la más básica. Mi biblia de este tipo de afirmaciones fundamentales tiende a ser Hirsch de la topología diferencial libro; le recomiendo mirar a través de ella.
La expresión correcta debería decir que para $M$ cerrado, inmersiones con sólo transversales doble auto-intersecciones (la preimagen de un punto se encuentra en la mayoría de los dos puntos) son densos en todos los mapas $M \to N$ donde $\dim N \geq 2\dim M$.
Esto queda demostrado en Hirsch "topología Diferencial". Primera prueba de las afirmaciones relacionadas con que las inmersiones (sin restricción en preimages) son densos de la si $\dim N \geq 2\dim M$ y que incrustaciones son densos si $\dim N > 2\dim M$; estos son teoremas 2.2.12 y 2.2.13. Él más tarde se ofrece una diferente de la prueba de la densidad de inmersiones en la final de la transversalidad de la sección (3.2.9) y deja tu pregunta como un ejercicio, el primero de la sección 3.2. No he intentado el ejercicio, pero sospecho que se debe seguir desde esencialmente las mismas técnicas que el resto de la sección. Probablemente voy a hacer mañana, si usted no recibe una oportunidad para antes de entonces.
