Expectativa condicional de un estimador para el muestreo defensiva

Question

En la Introducción de métodos Monte Carlo, por Robert y Casella, tenemos

¿Cómo derivamos la segunda igualdad? No debe ser

$$E\left[\frac{f(Xi)}{g{Y_i}(X_i)}|X_i\right]=\frac{f(X_i)}{g_1(X_i)}\rho+\frac{f(X_i)}{g_2(X_i)}(1-\rho)$$

Answer 1

Que una derivación correcta basada en la respuesta de Taylor...

$$E\left[\frac{f(Xi)}{g{Y_i}(X_i)}|X_i\right]=\int \frac{f(Xi)}{g{Y_i}(X_i)}k(X_i,dYi)=\sum{j=1}^2 \frac{f(X_i)}{g_j(X_i)}\frac{p(Xi|Y{i}=j)p(Y_{i}=j)}{p(X_i)}$$

donde $k$ es una distribución condicional regular, $X_i$ es continuación y $Y_i$ es discreta,

$$\sum_{j=1}^2 \frac{f(X_i)}{g_j(X_i)}\frac{p(Xi|Y{i}=j)p(Y_{i}=j)}{p(X_i)}=\frac{f(X_i)}{g_1(X_i)}\frac{g_1(X_i)\varrho}{g_1(X_i)\varrho+g_2(X_i)(1-\varrho)}+\frac{f(X_i)}{g_2(X_i)}\frac{g_2(X_i)(1-\varrho)}{g_1(X_i)\varrho+g_2(X_i)(1-\varrho)} = \frac{f(X_i)}{g_1(X_i)\varrho+g_2(X_i)(1-\varrho)}$$

Answer 2

Al paso de un poco tarde\begin{align} \mathbb{E}\left[\dfrac{f(Xi)}{g{Y_i}(X_i)}\big|X_i\right] &= \dfrac{f(Xi)}{g{1}(X_i)} \mathbb{P}(Y_i=1|X_i) + \dfrac{f(Xi)}{g{2}(X_i)} \mathbb{P}(Y_i=2|X_i)\ &= \dfrac{f(Xi)}{g{1}(X_i)} \dfrac{\rho g_1(X_i)}{\rho g_1(X_i) +(1-\rho) g_2(X_i)} + \dfrac{f(Xi)}{g{2}(X_i)} \dfrac{(1-\rho) g_2(X_i)}{\rho g_1(X_i) +(1-\rho) g_2(X_i)}\ &= \dfrac{f(X_i)}{1} \dfrac{\rho {1}}{\rho g_1(X_i) +(1-\rho) g_2(X_i) } + \dfrac{f(X_i)}{1} \dfrac{(1-\rho) 1}{\rho g_1(X_i)+(1-\rho) g_2(X_i)}\ &= \dfrac{f(X_i)}{\rho g_1(X_i)+(1-\rho) g_2(X_i)}\ \end{align}

Answer 3

sí es lo que pensé cuando miré primero en él. Pero la expectativa condicional se toma con respecto a la FMP condicional de $Y$ dado $X_i =x_i$. Si $y=1$ el peso $f(x_i) g_1^{-1}(x_i)$ $\frac{\varrho g_1(x_i)}{g_1(x_i)\varrho + g_2(x_i) (1-\varrho)}$. Puede seguir un camino similar para obtener el peso $f(x_i) g_2^{-1}(x_i)$, luego Sume los valores ponderados, hay alguna cancelación y termina por ser lo que dice el libro.