Probabilidad y estadística: variables aleatorias

Question

Tengo un problema similar al conocido "cupón colector problema."

Un cuadro de una cierta marca de cereales viene con un juguete especial. Hay 10 diferentes juguetes en todos. ¿Cuántos paquetes deberá comprar hasta encuentran el primer juguete ya adquirido en compras anteriores?

Answer 1

Sugerencia: Ioanni, el peor de los casos es de 11 cajas y el mejor de los casos 2 (veo que ya se han mencionado en los comentarios). Calcular las probabilidades de necesitar 2,3,4 hasta el 11 de cajas y tomar el valor esperado (tu pregunta debería leer "Lo que se espera que el número de paquetes que se necesita para comprar....").

Por lo tanto, definir la variable aleatoria $X$ que cuenta el número de paquetes que usted necesita. Usted tiene $$P(X=2)=\frac{1}{10}$$ The intuition is that the probability that $X=2$ is exactly the probability that the second pack will match the first pack. So, for the second pack you have only $1$ possibility out of $10$ (that is, to be equal the first pack). For the first pack you have no restrictions, it could have been any. Similarly$$P(X=3)=\frac{9}{10}\cdot\frac{2}{10}=\frac{18}{100}$$ La intuición es que ahora el segundo pack tiene que ser diferente que el primer pack (para 9 a 10) y el tercer paquete debe ser igual a la primera o la segunda, por lo tanto 2 posibilidades de 10 para que. Del mismo modo, usted puede encontrar todas las otras probabilidades. Usted tiene que

1. $P(X=2)=\frac{1}{10}=0.1$
2. $P(X=3)=\frac{9\cdot2}{10^2}=0.18$
3. $P(X=4)=\frac{9\cdot8\cdot3}{10^3}=0.216$
4. $P(X=5)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot4}{10^4}=0.2016$
5. $P(X=6)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5}{10^5}=0.1512$
6. $P(X=7)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot6}{10^6}=0.09072$
7. $P(X=8)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot7}{10^7}=0.042336$
8. $P(X=9)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot8}{10^8}=0.014515$
9. $P(X=10)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot9}{10^9}=0.003266$

10. $P(X=11)=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{10^9}=0.000363$

    Finalmente, usted debe encontrar que $$P(X=11)=\frac{9!}{10^9}$$ (Be careful that all probabilities should sum up to $1$). Then calculate the expected value of $X$ which is given by the formula $$E[X]=2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+\ldots+10\cdot P(X=10)+11\cdot P(X=11)$$ This is the required $n$ when is equal to $$E[X]=4,66$$ (si mis cálculos son correctos).

Answer 2

En mi humilde opinión, esto no es posible.

Supongamos que usted obtenga el juguete de tipo $T_1$ $1^{st}$ cuadro. A continuación,

• La probabilidad de conseguir el juguete de tipo $T_1$ $2^{nd}$ cuadro $\frac{9}{10}\frac{1}{10}$

• La probabilidad de conseguir el juguete de tipo $T_1$ $3^{rd}$ cuadro (y fracasar en los intentos anteriores) es $\frac{9}{10}\frac{9}{10}\frac{1}{10} = {(\frac{9}{10}})^2\frac{1}{10}$

• La probabilidad de conseguir el juguete de tipo $T_1$ $4^{th}$ cuadro (y fracasar en los intentos anteriores) es ${(\frac{9}{10}})^3\frac{1}{10}$

• La probabilidad de conseguir el juguete de tipo $T_1$ $n^{th}$ cuadro (y fracasar en los intentos anteriores) es ${(\frac{9}{10}})^{n-1}\frac{1}{10}$

Si usted tiene éxito después de la cosecha, $n$ cajas, entonces : ${(\frac{9}{10}})^{n-1}\frac{1}{10} = 1$

Simplemente tome $\log$ de los costados y convencerse de que usted obtenga un no-realista valor de $n$.

Answer 3

La probabilidad de no sacar un duplicado antes y el dibujo de un duplicado en la $n^\text{th}$ cuadro sería $$ \underbrace{\left(1-\frac0{10}\right)\dots\left(1-\frac{n-2}{10}\right)}_{n-1\text{ factores}}\frac{n-1}{10} =\frac{10!(n-1)}{10^n(11-n)!} $$ Por lo tanto, se espera que el cuadro sería $$ \sum_{n=1}^{11}n\frac{10!(n-1)}{10^n(11-n)!}=\frac{7281587}{1562500}=4.66021568 $$

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Una Nota sobre la Distribución $$ \frac{10!(n-1)}{10^n(11-n)!} =\frac{10!}{10^{10}}\left(\frac{10^{11-n}}{(11-n)!}-\frac{10^{10-n}}{(10-n)!}\right) $$ lo que muestra que $$ \begin{align} &\sum_{n=1}^{11}\frac{10!(n-1)}{10^n(11-n)!}\\ &=\sum_{n=1}^{11}\frac{10!}{10^{10}}\left(\frac{10^{11-n}}{(11-n)!}-\frac{10^{10-n}}{(10-n)!}\right)\\ &=\frac{10!}{10^{10}}\left(\frac{10^{10}}{10!}-\frac{10^{-1}}{(-1)!}\right)\\[9pt] &=1 \end{align} $$ Que se comprueba que el valor esperado de $1$ $1$ (la distribución es válido distribución de probabilidad).

Answer 4

Veo esto un simple distribución geométrica (caso Especial distribución binomial negativa)

En la primera caja de cereal, usted encontrará un juguete, vamos a llamar a este $T_{1}$. $T_1$ es uno aleatorio juguete de las 10 posibles juguete. Una vez que el primer juguete está seleccionada, la probabilidad de obtener el mismo juguete nuevo es de $P(T_{1})=\dfrac{1}{10} $.

Vamos a llamar a llegar el caso de recibir el mismo juguete nuevo éxito. La probabilidad de éxito en 0.1. Sea X el no. de ensayos o intentos antes de lograr el éxito.

El E(X), que es el valor esperado es el promedio del número de ensayos antes de que el éxito se logra. La fórmula para el valor esperado de una distribución geométrica es $E(X)=\dfrac{(1-p)}{p}$ donde $p$ es la probabilidad de éxito.

En este caso, $p=0.1$, $$E(X)=\dfrac{0.9}{0.1}=9$$

Así, en promedio, se tomará 9 intentos antes de lograr el éxito es alcanzado. Además de la distribución puede ser estimada a partir de la Tschebycheff la desigualdad.

Respuesta abierta a la crítica.