Intersección de bolas abiertas de un espacio métrico

Question

Me estoy preguntando acerca de la siguiente pregunta:

Dado un (contables) de la secuencia anidada de abrir las pelotas:

$$B_1 \supseteq B_2 \supseteq \cdots$$ No necesariamente tenían el mismo centro. Todos con radio delimitado desde abajo, dicen por $r > 0$. Entonces podemos decir que el $$\bigcap_{i=1}^{\infty} B_i \neq \varnothing$$ sin duda es cierto en los reales, como uno puede simplemente ir hasta el punto donde las radios están cerca de $r$, a continuación, tomar el centro de la bola. Sin embargo, estoy teniendo problemas para ver si es o no es cierto en el caso general. Así que gracias de antemano por la prueba o contraejemplo.

Answer 1

Sea $N$ el conjunto de enteros positivos. Definir una métrica en $N$ como sigue: %#% $de #% es sencillo comprobar que se trata de una medida completa en$$d(m,n)=\left{ $$\begin{array}{ll} 1+ \frac{1}{mn}& \mbox{if }m \neq n\ 0 &\mbox{if }m=n \end{array}$$ \right.$ (completa porque esta métrica es discreta).

Las bolas cerradas $N$ $ están disminuyendo y tienen intersección vacía. Por supuesto, las correspondientes bolas abiertas también tienen intersección vacía.

Answer 2

El siguiente argumento es incorrecto, como se ha señalado por TCL. Voy a dejar la respuesta aquí de todos modos, por si acaso.

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Tenga en cuenta que $\bigcap_i^n B_i=B_n$ debido a que cada una de las $B_i$ es un subconjunto de a $B_{i+1}$. Deje $d_i=\mbox{diam}(B_i)$. Debe quedar claro que si $\bigcap_i^{\infty} B_i=\emptyset$,$\lim_{i\rightarrow\infty}d_i=0$, por lo que existe cierta $i\in\mathbb{N}$ tal que $d_i< 2r$, pero, a continuación, $B_i$ es una bola abierta de radio de menos de $r$, lo que contradice la suposición de que cada una de las $B_i$ tiene radio acotado abajo por algunos distinto de cero $r$.

Debo añadir que estoy usando la definición del diámetro de un subconjunto $A$ a de un espacio métrico $X$ con métrica $d$$\mbox{diam}(A)=\sup\{d(x,y)|x,y\in A\}$.