Propiedades de la homogénea prolongación racional de $\mathbb{R}$

Question

Deje $X = \mathbb R$ equipado con la topología generada por la apertura de los intervalos de la forma $(a,b)$ y un conjunto de la forma $(a,b)\cap \mathbb Q.$

1. $X$ es regular.

2. $X$ es normal

3. $X$ \ $\mathbb Q$ es denso en $ X$

4. $\mathbb Q$ es denso en $X$

Mi intento es :

para (3) $(a-\epsilon,a+\epsilon) \cap \mathbb Q$ es nbd de una $\in \mathbb Q$ se cruzan con $X$ \ $\mathbb Q$ está vacía, así que $X$ \ $\mathbb Q$ no es denso en $X$

para (4) creo $\mathbb Q$ es denso en $X$

Por favor me dan el ejemplo contrario de (1) y (4).

Gracias.

Answer 1

La solución a (3) parece correcto para mí (un poco más tarde).

Para (4) sólo se necesita mostrar que cada conjunto abierto no vacío contiene un número racional. El vacío abierto establece en este espacio son sólo los sindicatos de los conjuntos que se describen (es decir, los conjuntos de la forma $(a,b)$ o $(a,b) \cap \mathbb{Q}$$a<b$). Así que realmente es suficiente para mostrar que todas las de estos conjuntos contienen un número racional: esto no debería ser demasiado difícil.

Para (1) y (2) voy a dejar una pista.

Sugerencia: tenga en cuenta que $F = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ está cerrado en este nuevo espacio. (Esto es esencialmente lo que resultó en su solución (3).) Se puede separar $0$ $F$ por los distintos bloques abiertos? (En un poco más de detalle, si $U$ es una vecindad de a $0$, encontramos un número irracional $x$ de manera tal que cada abierto barrio de $x$ intersecta $U$.)