Demuestra que $\limsup \pi(n)/n = 0$ con técnicas elementales.

Question

Supongamos que $S$ es un conjunto $S \subseteq N$ y supongamos $$\lim_{n \to \infty} \frac{|Z_n \cap S|}{n} = c \in (0,1).$$ ¿Cómo demostramos, con medios elementales, que hay un número compuesto en $S$ ?

Si esto no fuera cierto, entonces tendríamos $\limsup \pi(n)/n > 0$ pero eso viola el teorema de los números primos. Sin embargo, quiero una prueba directa y elemental. ¿Puede alguien dar una?

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_of_the_sum_of_the_reciprocals_of_the_primes

A largo plazo, la proporción de números no divisibles por $2$ es $1/2.$

La proporción de números no divisibles por $2$ o $3$ es $(1/2)(2/3).$

La proporción de números no divisibles por $2$ o $3$ o $5$ es $(1/2)(2/3)(4/5).$

Sigue echando primos, la proporción de números no divisibles por ninguno de los de la lista hasta ahora es el producto de esos $1 - (1/p).$

Si se toman suficientes primos, este producto puede hacerse tan pequeño como se desee. El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos. Obtengo, para $$ 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, $$ que $$ -t - 2 t^2 \leq \log (1-t) \leq -t. $$ Como la suma armónica de los primos diverge, la suma de los logaritmos va a $-\infty.$