Hay muchas maneras diferentes de acercarse a este, dependiendo de lo que usted está autorizado a utilizar. Una forma sencilla es el uso de Euler productos.
El producto de Euler para $$Q(s) = \sum_{n\ge 1} \frac{d(n)^2}{n^s}$$ está dada por
$$ Q(s) = \prod_p \left( 1 + \frac{2^2}{p^s} + \frac{3^2}{p^{2}}
+ \frac{4^2}{p^{3}} + \cdots \right).$$
Esto debe seguir por la inspección teniendo en cuenta que $d(n)$ es multiplicativo y $d(p^v) = v+1$, $p$ prime.
Ahora tenga en cuenta que $$\sum_{k\ge 0} (k+1)^2 z^k =
\sum_{k\ge 0} (k+2)(k+1) z^k - \sum_{k\ge 0} (k+1) z^k \\=
\left(\frac{1}{1-z}\right)" - \left(\frac{1}{1-z}\right)' =
\frac{1+z}{(1-z)^3}.$$
De ello se deduce que el producto de Euler para $Q(s)$ es igual a
$$ Q(s) = \prod_p \frac{1+1/p^s}{(1-1/p^s)^3}.$$
Por otro lado, tenemos
$$ \zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1-1/p^s}$ $ , de modo que
$$ \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)} =
\prod_p \frac{\left(\frac{1}{1-1/p^s}\right)^4}{\frac{1}{1-1/p^{2}}} =
\prod_p \frac{1-1/p^{2}}{\left(1-1/p^s\right)^4} =
\prod_p \frac{1+1/p^s}{\left(1-1/p^s\right)^3}.$$
Los dos Euler productos son los mismos, QED.
