$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ pero...

Question

Vale, es fácil demostrar que las raíces primarias son irracionales (es decir $ \sqrt{p} \not\in \mathbb{Q}, \text{ if } p \in \mathbb{P} $ )

Considere $ \sqrt{2} $ . Podemos demostrar rápidamente que $ \sqrt{2} \not\in \mathbb{Q} $ .

Prueba (por contradicción)

Supongamos que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

\begin{align*} &\Rightarrow \exists a,b \in \mathbb{Z} \;\text{ such that }\; \frac{a}{b} = \sqrt{2} &(\text{By definition})\\ &\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 2 & (\text{By squaring both sides}) \\ &\Rightarrow a^2 = b^2 \cdot 2 \\ &\text{Now consider the prime factorization of both sides. The left hand} \\ &\text{side has an even number of prime factors (this is true of any square).} \\ &\text{Since 2 is prime, and $b^2$ has an even number of prime factors, The } \\ &\text{right hand side has an odd number of prime factors.} \\ &\Rightarrow a^2 \neq b^2 \cdot 2 \\ &\Rightarrow \frac{a}{b} \neq \sqrt{2} \quad \quad \rightarrow\leftarrow \\ &\therefore \sqrt{2} \not\in \mathbb{Q} \quad \blacksquare \end{align*}

Fácil, ¿verdad? Bien, considera esto:

Dejemos que $f(a,n)$ sea una función que devuelva el $n^{th}$ dígito a la derecha del decimal del número $a$ (en su expansión decimal). Así que, $f(z,n) = 0,\quad\forall z\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}$ . Sin embargo, como $\sqrt{2} \approx 1.414213562$ , $f(\sqrt{2}, 1) = 4,\;f(\sqrt{2}, 2) = 1$ y así sucesivamente.

Esto implica que $\displaystyle\sqrt{2} = 1 + \sum_{i=1}^\infty \frac{f(\sqrt{2},i)}{10^i}$

Desde $\mathbb{Q}$ es cerrado bajo adición (es decir $\forall a,b \in \mathbb{Q}, a+b \in \mathbb{Q}$ ) Debemos concluir que $1 + \sum_{i=1}^\infty \frac{f(\sqrt{2},i)}{10^i} \in \mathbb{Q}$

$\therefore \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

Pero acabamos de demostrar que $\therefore \sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$

¡¡ACK!!

Está claro que uno de los pasos está mal. Mi sospecha es esta:

$\displaystyle\sqrt{2} = 1 + \sum_{i=1}^\infty \frac{f(\sqrt{2},i)}{10^i}$

Si es así, ¡esto es algo alarmante! Esto implica que los números irracionales (es decir, casi todos los ¡números de la recta real) no pueden tener una representación decimal! ¿Es esto cierto?

Answer 1

El problema es cuando se deduce que una suma infinita de números racionales es racional, esto simplemente no es cierto. Una suma finita de números racionales es racional, pero no necesariamente una suma infinita, por ejemplo: $\pi = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \ldots$ .

Answer 2

El problema es que mientras $\mathbb{Q}$ es cerrado bajo adición (es decir, la suma de dos elementos de $\mathbb{Q}$ está de nuevo en $\mathbb{Q}$ ), para capturar una suma infinita como $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \frac{f(\sqrt{2}, i)}{10^i}$ no necesitas sólo la adición, necesitas tomar una límite de la secuencia de sumas parciales $\displaystyle \sum_{i=1}^N \frac{f(\sqrt{2}, i)}{10^i}$ . Los números racionales $\mathbb{Q}$ no se cierran bajo los límites de captura.

Answer 3

Por decirlo de otra manera, $\mathbb{Q}$ no es propio cierre , por lo que no todas las secuencias infinitas convergen dentro de sí mismas. Aquí, los términos de la secuencia en cuestión son:

$$\displaystyle \bigg(1 + \sum_{i=1}^n \frac{f(\sqrt{2},i)}{10^i}\bigg), \ \forall n \text{ from } 1 \to \infty$$

Answer 4

Cualquier número real puede ser aproximado por números racionales cada vez más cercanos. Si se toma una secuencia de aproximación de este tipo y se calculan las diferencias sucesivas $a_i$ entonces ese número real es la suma infinita de los $a_i$ . Así que cualquier número real es una suma infinita de números racionales. Cierre aditivo de $\mathbb{Q}$ sólo es cierto para sumas finitas.