Ejemplos de categorías de coma

Question

Hay una construcción básica en la categoría de la teoría de que sólo he acaba de conocer, que es la coma categoría.

Parece ser una muy básico de la construcción y de las que, sin embargo, he visto muy pocos de la "vida real" de los ejemplos.

Sé el sector, coslice y flecha categorías son casos particulares de una coma categoría. Esto es en MacLane, o en la wikipedia el artículo. En ese artículo hay también ejemplos de punta conjuntos o gráficos, que son más bien de carácter concreto.

Estoy pidiendo, entonces, para más ejemplos de esta construcción en matemáticas. Los ejemplos de (co)rebanada de categorías también son bienvenidos.

He aquí un ejemplo que yo he venido para arriba con. La finalización de un espacio métrico $M$ se compone de un par de $(\overline{M},i)$ donde $\overline{M}$ es un espacio métrico completo y $i:M\to \overline{M}$ es una manera uniforme función continua que satisface las siguientes universal de los bienes: si $N$ es otro espacio métrico completo y $g:M\to N$ es uniformemente continua, entonces existe un único uniformemente continua en función de $h:\overline{M}\to N$ de manera tal que el siguiente diagrama conmuta:

Puedo reclamar esta conclusión es un objeto inicial en un coma categoría. Considerar los functors donde $\mathbf{Met_u}$ es la categoría de la métrica espacios con uniforme de funciones continuas y $\mathbf{CompMet_u}$ es la categoría de completar métrica espacios con uniforme de funciones continuas. El functor $F$ es tal que $F(\star)=M$ donde $\star$ es el único objeto de $\mathbf{1}$, e $U$ es la inclusión functor.

A continuación, un objeto inicial de $(F\downarrow U)$ es exactamente la conclusión de $M$.

Pregunta extra: es este enfoque de la finalización no le interesa/no es útil? Pregunto esto porque parece que el enfoque categorial a las terminaciones no tiene nada que ver con coma categorías. (Puedo ver, sin embargo, que la característica universal de esta conclusión también puede ser visto como una contigüidad).

Answer 1

Ok, si usted está interesado en la rebanada/coslice categorías, entonces hay dos, obviamente, muy interesante:

Es bastante trivial de que la categoría de $\mathbf{Top}_\ast$ de punta espacios topológicos es sólo $(\bullet\downarrow\mathbf{Top})$.

Como otro ejemplo, vamos a averiguar lo $(R\downarrow\mathbf{CRing})$ parece, cuando $R$ es venir conmutativa unital anillo. Vemos que, casi por definición, podemos pensar en los objetos de $(R\downarrow\mathbf{CRing})$ como ser conmutativa unital anillos de $A$ con un distinguido anillo homomorphism $f:R\to A$. Ok, no hay más "simplificación" que se puede hacer allí. Así que, ¿qué hacer con las flechas en esta coma categoría? Así, si tenemos dos objetos $f:R\to A$$g:R\to B$, vemos que una flecha entre ellos es una flecha $h:A\to B$ (por supuesto, técnicamente, es un par de flechas, pero cuando la izquierda del elemento de $(-\downarrow-)$ es discreto este es siempre la identidad de la flecha, y tan poco importante) tal que $g=h\circ f$. Pero, precisamente a la formulación de álgebras conmutativas $R$. En otras palabras, tenemos conmutativa unital anillos de $A$ con $\mathbf{CRing}$-flechas $R\to A$ y los morfismos entre dos de tales objetos $(R,A,f)$ $(R,B,g)$ es sólo un $\mathbf{CRing}$-flecha $A\to B$ que respete $f$$g$. Así, vemos que la $\left(R\downarrow\mathbf{CRing}\right)\cong R\text{-}\mathbf{CAlg}$.

Answer 2

Un ejemplo de una coma categoría $(F \downarrow G)$, creo que es "simplificado" coma categoría, pero no creo que es un término comúnmente utilizado, es lo que usted consigue cuando usted tome $F: A \to C$ a ser la selección functor (es decir,$A = \textbf{1}$).

Más concretamente, si $G:\textbf{Group} \to \textbf{Set}$ es el olvidadizo functor de la asignación de un grupo a su conjunto subyacente y $F: \textbf{1} \to \textbf{Set}$ es la selección functor la selección de un conjunto $S$ luego de obtener la categoría de $(S \downarrow G)$ donde los objetos son pares $(f,Y)$ donde $f:S \to Y$ es una de morfismos en $\textbf{Set}$ $Y = G(X)$ es el conjunto subyacente de algún grupo $X$. Los morfismos $(f,Y) \to (f^\prime, Y^\prime)$ son inducidas por el grupo homomorphisms $\varphi : X \to X^\prime$ tal que $G(\varphi) \circ f = f^\prime$.

Usted puede utilizar esta categoría para definir el grupo libre sobre un conjunto $S$, es decir, es un grupo de $F$ tal que $(f,G(F))$ es un objeto inicial en $(S \downarrow G)$.

Espero que esto sirva de ejemplo. Como para el bono de la pregunta: voy a tener que pasar eso.

Answer 3

Consulte la página 9 de Teoría de la forma de 1989.

Answer 4

Un ejemplo breve pero agradable: Let $F$ ser un presheaf en una categoría $\mathbf{C}$. Entonces $F$ es un alborotaban de functors representables en $\mathbf{Set^{C^{op}}}$. El esquema de la alborotaban es $(*\downarrow F)^{op}$.