Pregunta sobre la definición de independencia.

Question

¿Por qué la definición de independencia requiere que cada subfamilia de sucesos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ satisface $P(A_{i1}\cap \cdots \cap A_{ik})=\prod_j P(A_{ij})$ donde $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ y $j < n$ .

De ahí surgió mi duda: Supongamos que $A_1,A_2$ y $A_3$ como $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ .

Entonces

$$P(A_1\cap A_2)=P(A_1\cap A_2 \cap A_3) + P(A_1\cap A_2 \cap A_3^c)$$ $$=P(A_1)P(A_2)(P(A_3)+P(A_3^c))=P(A_1)P(A_2).$$

Así que me parece que si $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ entonces $P(A_i\cap A_j)=P(A_i)P(A_j)$ es decir, la independencia de la colección más grande implica a las más pequeñas. ¿Por qué me equivoco? Los cálculos me parecen correctos, ¿tal vez mis conclusiones son erróneas?

Answer 1

$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ no implica que $P(ABC^C)=P(A)P(B)P(C^C)$ que parece que estás usando. Considere, por ejemplo, $C=\emptyset$ .

Sin embargo, véase esta pregunta .

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Otro ejemplo:

Sea $S=\{a,b,c,d,e,f\}$ con $P(a)=P(b)={1\over8}$ y $P(c)=P(d)=P(e)=P(f)={3\over16}$ .

Sea $A=\{a,d,e\}$ , $B=\{a,c,e\}$ y $C=\{a,c,d\}$ .

Entonces

$\ \ \ \ \ \ P(ABC)=P(\{a\})={1\over8}$

et

$\ \ \ \ \ \ P(A)P(B)P(C)= {1\over2}\cdot{1\over2}\cdot{1\over2}={1\over8}$ .

Pero

$\ \ \ \ \ \ P(ABC^C)=P(\{e\})= {3\over16}$

mientras que

$\ \ \ \ \ \ P(A)P(B)P(C^C) = {1\over2}\cdot{1\over2}\cdot{1\over2}={1\over8}$ .

De hecho, no hay dos $A$ , $B$ y $C$ son independientes.

Answer 2

Cuando se lanza un dado tetraédrico, el resultado es la cara de la parte inferior del dado cuando se detiene. Supongamos que las cuatro caras están marcadas $2,3,5,30$ y estos resultados numéricos se producen con probabilidades $\frac{11}{24}, \frac{7}{24}, \frac{5}{24}$ y $\frac{1}{24}$ respectivamente.

Sea $A$ , $B$ y $C$ denotan los eventos en los que el resultado es a múltiplo de $2$ , $3$ y $5$ respectivamente. Entonces,

$$\begin{align*} P(A) &= P\{2,30\} = \frac{1}{2}\\ P(B) &= P\{3,30\} = \frac{1}{3}\\ P(C) &= P\{5,30\} = \frac{1}{4}\\ P(ABC) &= P\{30\} = \frac{1}{24} = P(A)P(B)P(C) \end{align*}$$ pero $AB = AC = BC = ABC$ y así $$P(AB) \neq P(A)P(B), \quad P(AC) \neq P(A)P(C), \quad P(BC) \neq P(B)P(C)$$

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Por otro lado, si es un dado justo, entonces $P(A)=P(B)=P(C) = \frac{1}{2}$ y puesto que $P(ABC) = \frac{1}{4}$ tenemos que

$$P(AB) = P(A)P(B), \quad P(AC) = P(A)P(C), \quad P(BC) = P(B)P(C)$$

pero $$P(ABC) \neq P(A)P(B)P(C).$$

Answer 3

He aquí un ejemplo rápido. Lanza una moneda al aire una vez. Sea $A$ sea la "cabeza" del evento $B$ el evento "cola" y $C$ el acontecimiento "cara y cruz". (Por supuesto $C$ tiene probabilidad $0$ .) Ese contraejemplo es trivial y aburrido, así que producimos uno no trivial.

Sea $A$ y $B$ sean sucesos tales que $P(A)=P(B)=1/2$ y $P(A\cap B)=1/5$ . Es evidente que $A$ y $B$ no son independientes y que $P(A\cup B)=4/5$ . Sea $C=A\cup B$ . Entonces $$P(A\cap B\cap C)=P(A\cap B)=\frac{1}{5}\qquad\text{and}\qquad P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{5}.$$

Answer 4

Tu segunda igualdad parece sospechosa. ¿Y si $P(A_3)=0$ y $A_1=A_2$ con $P(A_1)=P(A_2)=P(A_1\cap A_2)=\frac{1}{2}$ . Este es sin duda un ejemplo de por qué necesita la definición completa.