Ecuación funcional

Question

¿Alguien me puede ayudar por favor con este problema?

Si la función $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}$ satisface la ecuación $f\Big(\frac{x+y}{2}\Big)+f\Big(\frac{2xy}{x+y}\Big) = $ f(x)+f(y), también satisface $2f(\sqrt{xy})=f(x)+f(y)$.

Intenté recoger más fórmulas de sustituciones como $\sqrt{xy}\rightarrow x$, $x\rightarrow\frac{x+y}{2}$ pero no tuvo éxito.

Answer 1

Es equivalente a la instrucción

El valor de la expresión $f(x) + f(y)$ sigue siendo el mismo, si reemplazamos $x$ $y$ por su aritmética y armónica significa:

$$\text{AM}(x,y) = \frac{x+y}{2}\quad\text{ y }\quad\text{HM}(x,y) = \frac{1}{\frac12 ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y}) }$$

Se sabe que para cualquier $x,y \in \mathbb{R}_{+}$, tenemos:

$$\text{AM}(x,y) \ge \text{GM}(x,y) = \sqrt{xy} \ge \text{HM}(x,y)$$

También se sabe que si nos repeatly aplicar $\text{AM}$ $\text{HM}$ a un par de números, que se reunirán para GM. Más precisamente, si construimos dos secuencias de $(x_n), (y_n), n\in \mathbb{N}$ por:

$$(x_n, y_n) = \begin{cases} (\max(x,y),\;\min(x,y)), & n = 0\\ (\text{AM(x,y)},\;\;\text{HM(x,y)}), & n > 0 \end{casos}$$

vamos a encontrar

$$x_0 \ge x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n \cdots \ge \text{GM}(x,y) \ge \cdots \ge y_n \ge \cdots \ge y_2 \ge y_1 \ge y_0$$

y $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} y_n = \text{GM}(x,y) = \sqrt{xy}$. Si $f$ es continua, esto implica

$$f(x) + f(y) = f(x_1) + f(y_1 ) = \cdots = \lim_{n->\infty} f(x_n) + f(y_n) = 2f(\sqrt{xy})$$

La parte que $(x_n,y_n)$ es intercalando $\text{GM}(x,y)$ estándar $\text{AM}, \text{GM}, \text{HM}$ cosas, voy a omitir su justificación. Permítanme demostrar porqué $x_n, y_n$ converge al mismo límite. Aviso

$$x_{n} - y_{n} = \frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2} - \frac{2 x_{n-1} y_{n-1}}{x_{n-1}+y_{n-1}} = \frac{(x_{n-1}-y_{n-1})^2}{2(x_{n-1}+y_{n-1})}\\ = \frac12 \left|\frac{x_{n-1}-y_{n-1}}{x_{n-1}+y_{n-1}}\right|(x_{n-1} - y_{n-1}) \le \frac12 (x_{n-1} - y_{n-1}) $$ Podemos concluir general $n$, $|x_n - y_n | \le 2^{-n}|x-y|$ y, por tanto, $x_n, y_n$ converge al mismo límite de $n \to \infty$. Desde $x_n$ $y_n$ son intercalando $\text{GM}(x,y)$, el límite común es $\text{GM}(x,y) = \sqrt{xy}$.

Answer 2

Sugerencias:

$\dfrac{f(x)+f(y)}{2} \ge\sqrt{f(x)f(y)}$

Aquí tenemos $\dfrac{f(x)+f(y)}{2} =2f(\sqrt{xy})$