Verifique la serie para la convergencia

Question

ps
No tengo idea de cómo lidiar con eso.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sin(n)\sin\left(\frac{(-1)^n}{n^{1/4}}\right)=(-1)^n\sin(n)\sin\left(\frac{1}{n^{1/4}}\right)$$

Ahora, muestran que existe un número $M$ (añadido sugerencia: $M=\sec(1/2)$ es suficiente) tal que para todos los $N$

$$\left|\sum_{n=1}^N (-1)^n\sin(n)\right|\le M$$

Finalmente, se aplican de Dirichlet de la Prueba , señalando que $\sin\left(\frac{1}{n^{1/4}}\right)>0$ y monótonamente disminuye a cero.

ALERTA de SPOILER: el cursor sobre el área resaltada para revelar la solución

Tenga en cuenta que tenemos $$\begin{align}\left|\sum_{n=1}^N (-1)^n\sin(n)\right|&=\left|\text{Im}\left(\sum_{n=1}^N (e^{i(1+\pi)})^n\right)\right|\\\\&=\left|\text{Im}\left(\frac{e^{i(1+\pi)} -(e^{i(1+\pi)})^{N+1}}{1-e^{i(1+\pi)}}\right)\right|\\\\&=\left|\frac{\sin\left(\frac{(1+\pi)N}{2}\right)\sin\left(\frac{(1+\pi)(N+1)}{2}\right)}{\cos(1/2)}\right|\\\\ &\le \sec(1/2)\end{align}$$