Verificar el cómputo de: $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij$

Question

Calcular la suma:

$\sum{i=1}^{n}\sum{j=1}^{n}ij$

Mi trabajo:

$\sum{i=1}^{n}\sum{j=1}^{n}ij = \sum_{i=1}^{n}i\frac{n(n+1)}{2}$

Ahora desde $\frac{n(n+2)}{2}$ es sólo una constante podemos sacar de la suma

$\sum{i=1}^{n}i\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\sum{i=1}^{n}i$

$\sum_{i=1}^{n}i\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\times\frac{n(n+1)}{2}$

Lo que conseguimos:

$\sum{i=1}^{n}\sum{j=1}^{n}ij = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

No estoy seguro si esto es correcto o si estoy usando las propiedades de la serie correctamente.

Answer 1

Otro modo

Answer 2

La prueba es correcta.

Desde $n(1+2+3+\ldots+n-1)n+n(1+2+3+\ldots+n-1)+n^2=n^3$ utilizando la inducción no es difícil mostrar que $\sum{i=1}^n\sum{j=1}^nij=\sum{k=1}^nk^3$.
Por lo tanto también tiene $\sum{k=1}^nk^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$. Por supuesto si conoces la identidad última puede utilizarlo para una prueba diferente de su resultado.