Demuestra que la ecuación $$3^x+4^x=5^x$$ tiene exactamente una raíz.
Considera x como un miembro del conjunto de números reales. Esta pregunta fue dada por mi instructor como parte del curso de Cálculo. No tengo ni idea de cómo abordar esto. Por favor, ayúdame a resolver esto.
Las raíces de la ecuación dada corresponden a las soluciones de la ecuación $$(\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x=1$$ Sin embargo, la función $f(x)=(\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x$ es decreciente para todo $x$ (ya que es la suma de dos funciones decrecientes), por lo tanto, hay a lo sumo una solución. Ahora encuentra una solución por inspección ($x=2$) y hemos terminado.
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Aquí hay una pista: rearrange de manera que la ecuación tenga 0 en un lado. Ahora diferencia. Si la derivada es siempre positiva o siempre negativa, entonces la función debe tener como máximo una raíz, así que encuentra un valor donde sea positiva y donde sea negativa y habrás terminado gracias al TMR.